sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2017

correction de l'exercice 3

Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.
Elle les sort de son congélateur à − 18° C et les place dans une pièce à 20° C. Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de 1° C.

Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de température des macarons est la même.
Estimer dans ce cadre la température au bout de 30 minutes, puis au bout de 45 minutes. Cette modélisation est-elle pertinente ?

Selon ce modèle, la hausse de la température est proportionnelle au temps elle est de 19° C toutes les 15 minutes.

Avec ce modèle, la température des macarons serait de 20° C au bout de 30 minutes et de 39° C au bout de 45 minutes alors que la température de la pièce est de 20° C. Ce modèle n'est pas réaliste.

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Deuxième modèle

On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton).
On désigne par θ la température des macarons à l'instant t, et par $\theta \prime$ la vitesse de décongélation. L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.
On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un nombre réel a tel que, pour t positif : $$\begin{array}{cc}\theta \prime \left(t\right)=a\left[\theta \left(t\right)-20\right]& \left(E\right)\end{array}$$

1. Vérifier que l'équation (E) s'écrit également : $\theta \prime -a\theta =-20a$. Donner alors, en fonction de a, l'ensemble des solutions de (E).

   Pour tout réel t positif : $$\begin{array}{rcl}\theta \prime \left(t\right)=a\left[\theta \left(t\right)-20\right]& \iff & \theta \prime \left(t\right)=a\theta \left(t\right)-20a\\ & \iff & \theta \prime \left(t\right)-a\theta \left(t\right)=-20a\end{array}$$

   Ainsi, l'équation (E) s'écrit également : $\theta \prime -a\theta =-20a$.
   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

   Les solutions de l'équation différentielle $\theta \prime -a\theta =-20a$ sont les fonctions définies sur $\left[0;+\infty \right[$ par $\theta \left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{at}+20$ où k est une constante réelle quelconque.

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On rappelle que la température des macarons à l'instant $t=0$ est égale à −18° C et que, au bout de 15 min, elle est de 1° C.

2. Montrer que pour t positif : $\theta \left(t\right)=20-38{\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}$.

   • La condition $\theta \left(0\right)=-18$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+20=-18$ d'où $k=-38$. Ainsi, θ est définie par $\theta \left(t\right)=20-38{\mathrm{e}}^{at}$.

   • La condition $\theta \left(15\right)=1$ équivaut à $$\begin{array}{rcl}20-38{\mathrm{e}}^{15a}=1& \iff & -38{\mathrm{e}}^{15a}=-19\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{15a}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{15a}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & \iff & 15a=-\ln 2\\ & \iff & a=-{\displaystyle \frac{\ln 2}{15}}\end{array}$$

   La température des macarons à l'instant t est modélisée par la fonction θ définie pour t positif par $\theta \left(t\right)=20-38{\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}$.

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3. La température idéale de dégustation des macarons étant de 15° C, Marie estime que celle-ci sera atteinte au bout de 30 min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
   Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?

   • La température des macarons au bout de 30 minutes est :$$\theta \left(30\right)=20-38{\mathrm{e}}^{-2\ln 2}=20-{\displaystyle \frac{38}{4}}=\mathrm{10,5}$$

     30 minutes ne suffisent pas pour atteindre la température de 15° C.

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   • Le temps t nécessaire pour obtenir une température de 15° C est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}20-38{\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}=15& \iff & -38{\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}=-5\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}={\displaystyle \frac{5}{38}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\frac{t\ln 2}{15}}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{5}{38}}\right)\\ & \iff & -{\displaystyle \frac{t\ln 2}{15}}=\ln \left({\displaystyle \frac{5}{38}}\right)\\ & \iff & t=-{\displaystyle \frac{15\ln \left({\displaystyle \frac{5}{38}}\right)}{\ln 2}}\approx \mathrm{43,9}\end{array}$$

     La température idéale de dégustation des macarons est atteinte au bout de 44 minutes.

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