sujet : Antilles Guyane 2018

correction de l'exercice 1

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau. Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, …), on utilise des bétons de compositions différentes.
Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée t de séchage, exprimée en jour.
On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, qui est une solution sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle (E) :$$y\prime +\mathrm{0,15}y=\mathrm{4,5}$$

1. Résoudre l'équation différentielle (E) sur $\left[0;+\infty \right[$.

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

   Par conséquent, les solutions sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,15}y=\mathrm{4,5}$ sont les fonctions définies pour tout réel t positif par $f\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}+30$ où k est une constante réelle quelconque.

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2. À l'instant $t=0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle.
   Montrer alors que f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=-30{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}+30$.

   La condition $f\left(0\right)=0$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+30=0$ d'où $k=-30$

   Ainsi, la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=-30{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}+30$.

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3. Déterminer $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}=0$ donc $\underset{t\to +\infty }{\lim }-30{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}+30=30$.

   $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=30$. À partir d'un certain nombre de jours, la résistance à la compression du béton, sera proche de $30\mathrm{MPa}$.

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4. Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12\mathrm{MPa}$.
   Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de béton ?

   $$\begin{array}{rcl}-30{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}+30>12& \iff & -30{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}>-18\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,15}t}<\mathrm{0,6}\\ & \iff & -\mathrm{0,15}t<\ln \left(\mathrm{0,6}\right)\\ & \iff & t>-{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,6}\right)}{\mathrm{0,15}}}\approx \mathrm{3,4}\end{array}$$

   Il est possible de marcher sur ce type de béton après quatre jours de séchage.

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