sujet : Antilles Guyane 2018

correction de l'exercice 2

partie a

1. Déterminer $f\left(0\right)$ et $f\left(2\right)$.

   • Le point $H\left(0;2\right)$ appartient à la courbe 𝒞 donc $f\left(0\right)=2$.

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   • Le point $A\left(2;0\right)$ appartient à la courbe 𝒞 donc $f\left(2\right)=0$.

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2. Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels a et b.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(0\right)=2& \iff & b=2\\ f\left(2\right)=0& \iff & \left(2+2a+b\right){\mathrm{e}}^{-2}=0\end{array}$$

   Ainsi, a et b sont solutions du système :$\{\begin{array}{l}b=2\\ 2a+b+2=0\end{array}$.

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3. Déterminer l'expression de $f\left(x\right)$.

   $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{l}b=2\\ 2a+b+2=0\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}b=2\\ a=-2\end{array}\end{array}$$

   f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par : $f\left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}{x}^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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partie b

On considère maintenant que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par : $f\left(x\right)=\left(\mathrm{0,5}{x}^2-2x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.

   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=\mathrm{0,5}{x}^2-2x+2& \text{;}& u\prime \left(x\right)=x-2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$

   Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$: $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& \left(x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(\mathrm{0,5}{x}^2-2x+2\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& \left(x-2-\mathrm{0,5}{x}^2+2x-2\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\\ & =& \left(-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4\right)\times {\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ par $f\prime \left(x\right)=\left(-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

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2. Montrer que la tangente à la courbe 𝒞 au point A est l'axe des abscisses.

   La tangente à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse 2 a pour équation :$$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Or $f\left(2\right)=0$ et $f\prime \left(2\right)=\left(-2+6-4\right)\times {\mathrm{e}}^{-2}=0$

   Ainsi, la tangente à la courbe 𝒞 au point A a pour équation $y=0$.

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3. Justifier que le signe de $f\prime \left(x\right)$ est donné par le signe du trinôme $-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4$.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc le signe de $f\prime \left(x\right)$ est donné par le signe du trinôme $-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4$ sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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4. En déduire le signe de $f\prime \left(x\right)$ puis le sens de variation de f sur $\left[0;2\right]$.

   Le discriminant du trinôme $-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4$ est $\mathrm{\Delta }=3^2-4\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\times \left(-4\right)=1$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{lll}{x}_1={\displaystyle \frac{-3-1}{2\times \left(-\mathrm{0,5}\right)}}=4& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-3+1}{2\times \left(-\mathrm{0,5}\right)}}=2\end{array}$$

   Nous pouvons en déduire le signe du trinôme sur $ℝ$ :

   x	$-\infty$		2		4		$+\infty$
   $-\mathrm{0,5}{x}^2+3x-4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$ donc la fonction f est décroissante.

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partie c

1. Justifier que la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

   Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ la fonction f est décroissante. Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;2\right]$ on a $f\left(x\right)⩾f\left(2\right)$ soit $f\left(x\right)⩾0$.

   Ainsi, la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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2. On admet que la fonction F définie par $F\left(x\right)=\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+x-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$ sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;2\right]$.
   Montrer que l'aire en ${\mathrm{m}}^2$ de la partie délimitée par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est égale à $1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$.

   Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ la fonction f est positive donc l'aire, exprimée en ${\mathrm{m}}^2$, du domaine délimitée par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur $\left[0;2\right]$ : $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(2\right)-F\left(0\right)\\ & =& \left(-2+2-1\right)\times {\mathrm{e}}^{-2}-\left(-1\right)\times {\mathrm{e}}^0\\ & =& 1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\end{array}$$

   L'aire en ${\mathrm{m}}^2$ de la partie délimitée par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est égale à $1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}$.

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3. En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à $\mathrm{0,01}{\mathrm{m}}^2$ près.

   Par symétrie par rapport à la médiatrice de [AB], l'aire de la zone à peindre est égale au double de l'aire de la zone constituée d'un rectangle de côtés 2 mètres et 1 mètre, d'un rectangle de côtés 3,5 mètres et 0,2 mètres et du domaine hachuré délimité par la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.

   Soit 𝒜 l'aire en ${\mathrm{m}}^2$ de la zone à peindre :$$𝒜=2\times \left(2\times 1+\mathrm{3,5}\times \mathrm{0,2}+1-{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{e}}^2}}\right)=\mathrm{7,4}-{\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^2}}\approx \mathrm{7,13}$$

   L'aire de la zone à peindre est d'environ $\mathrm{7,13}{\mathrm{m}}^2$.

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