sujet : France métropolitaine, La Réunion 2018

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Le plan complexe est muni d'un repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$. On considère le point A de coordonnées $\left(-4\sqrt{2};4\sqrt{2}\right)$.
   Une écriture exponentielle de l'affixe du point A est :

   Soit $z_A=-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}\mathrm{i}$ l'affixe du point A.

   • Le module du nombre complexe $z_A$ est : $$\left|z_A\right|=\sqrt{{\left(-4\sqrt{2}\right)}^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{32+32}=8$$

   • Un argument θ du nombre complexe $z_A$ est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{-4\sqrt{2}}{8}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

     Soit $\arg \left(z_A\right)={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\left[2\pi \right]$.

   Une écriture exponentielle de l'affixe du point A est $z_A=8{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$.

   a.   $8{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   b.   $8{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   c.   $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

   d.   $4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$

2. Sur le graphique ci-dessous, l'aire hachurée est délimitée par la courbe d'équation $y=2{\mathrm{e}}^{-x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=2$, où a est un nombre réel strictement inférieur à 2.

   L'aire hachurée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d'aire lorsque a est égal à :

   La fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-x}$ est positive donc l'aire délimitée par la courbe d'équation $y=2{\mathrm{e}}^{-x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=2$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur $\left[a;2\right]$ :

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_a^2\left(2{\mathrm{e}}^{-x}\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[-2{\mathrm{e}}^{-x}\right]}_a^2}\\ & =& \left(-2{\mathrm{e}}^{-2}\right)-\left(-2{\mathrm{e}}^{-a}\right)\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-a}-2{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}$$

   Ainsi, $\mathrm{0,5}<{\displaystyle {\int }_a^2\left(2{\mathrm{e}}^{-x}\right)\mathrm{d}x}<1$ pour tout réel a tel que :$$\begin{array}{rcl}\mathrm{0,5}<2{\mathrm{e}}^{-a}-2{\mathrm{e}}^{-2}<1& \iff & {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}+2{\mathrm{e}}^{-2}}{2}}<{\mathrm{e}}^{-a}<{\displaystyle \frac{1+2{\mathrm{e}}^{-2}}{2}}\\ & \iff & \ln \left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}+2{\mathrm{e}}^{-2}}{2}}\right)<-a<\ln \left({\displaystyle \frac{1+2{\mathrm{e}}^{-2}}{2}}\right)\\ & \iff & \ln \left({\displaystyle \frac{2}{1+2{\mathrm{e}}^{-2}}}\right)<a<\ln \left({\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}+2{\mathrm{e}}^{-2}}}\right)\end{array}$$

   Or $\ln \left({\displaystyle \frac{2}{1+2{\mathrm{e}}^{-2}}}\right)\approx \mathrm{0,45}$ et $\ln \left({\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,5}+2{\mathrm{e}}^{-2}}}\right)\approx \mathrm{0,95}$ donc la seule des quatre propositions qui puisse convenir est $a=\mathrm{0,5}$

   a.   $-\mathrm{0,5}$

   b.   0

   c.   0,5

   d.   1,5

3. On considère l'équation différentielle $y\prime +2y=6$ où y désigne une fonction dérivable sur $ℝ$. On note f l'unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f\left(0\right)=5$.
   La valeur $f\left(2\right)$ est :

   Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

   Par conséquent, les solutions de l'équation différentielle $y\prime +2y=6$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=k{\mathrm{e}}^{-2x}+3$ où k est une constante réelle quelconque.

   La condition $f\left(0\right)=5$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+3=5$ d'où $k=2$. Ainsi, la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-2x}+3$ est l'unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f\left(0\right)=5$.

   D'où $f\left(2\right)=2{\mathrm{e}}^{-4}+3$.

   a.   $2{\mathrm{e}}^{-4}+3$

   b.   $2{\mathrm{e}}^4+3$

   c.   $5{\mathrm{e}}^{-4}+3$

   d.   $5{\mathrm{e}}^4+3$

4. On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$. La primitive F de f sur $\left]0;+\infty \right[$ telle que $F\left(1\right)=3$ est donnée par :

   Les quatre fonctions proposées vérifient la condition $F\left(1\right)=3$.

   Calculons la dérivée de chacune des fonctions proposées :

   1. $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-2x+5$. Pour tout réel x strictement positif : $F\prime \left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-2=\ln \left(x\right)-1$.

   2. $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}$. Pour tout réel x strictement positif : $F\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$.

   3. $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+3$. Pour tout réel x strictement positif : $F\prime \left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln \left(x\right)+1$.

   4. $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x+4$. Pour tout réel x strictement positif : $F\prime \left(x\right)=1\times \ln \left(x\right)+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}-1=\ln \left(x\right)$. D'où $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

   a.   $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-2x+5$

   b.   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{x}}$

   c.   $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)+3$

   d.   $F\left(x\right)=x\ln \left(x\right)-x+4$

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