sujet : France métropolitaine, La Réunion 2018

correction de l'exercice 4

partie a

Avant de débuter son projet, l'industriel s'intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes.
Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =3000$ et d'écart-type $\sigma =750$.

1. Déterminer la probabilité $P\left(1500⩽X⩽4500\right)$.

   D'après le cours, $P\left(1500⩽X⩽4500\right)=P\left(3000-2\times 750⩽X⩽3000+2\times 750\right)\approx \mathrm{0,954}$. Comme on cherche une valeur arrondie à ${10}^{-4}$ près, on utilise la calculatrice :

   $P\left(1500⩽X⩽4500\right)\approx \mathrm{0,9545}$.

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2. Déterminer la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de 2500 euros.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X>2500\right)& =& P\left(2500<X<3000\right)+P\left(X⩾3000\right)\\ & =& P\left(2500<X<3000\right)+\mathrm{0,5}\approx \mathrm{0,7475}\end{array}$$

   La probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de 2500 euros est 0,7475

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3. 1. Recopier et compléter le tableau suivant où a désigne un nombre entier naturel.

      a	$P\left(X⩽a\right)$
      3950	0,8974
      3960	0,8997
      3970	0,9021

   2. Déterminer le montant minimal, à l'euro près, tel qu'au moins 90 % des portes blindées classiques aient un prix de vente inférieur à ce montant.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,9}$ pour $a\approx \mathrm{3961,16}$. On en déduit que $P\left(X⩽3962\right)>\mathrm{0,9}$.

      Au moins 90 % des portes blindées classiques ont un prix de vente inférieur à 3962 euros.

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   3. L'industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée « SECUR » ne devra pas dépasser de plus de 15 % le montant minimal précédent.
      Quel prix de vente maximal M, à l'euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle « SECUR » ?

      $$3962\times \mathrm{1,15}=\mathrm{4556,3}$$

      Le prix de vente maximal pour une porte du modèle « SECUR » est de 4556 euros.

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partie b

L'industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle « SECUR » au tarif M déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de 984 personnes intéressées par l'achat d'une porte blindée. Sur cet échantillon, 123 personnes se disent favorables à l'achat du modèle « SECUR ».

1. Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle.

   La fréquence f de personnes favorables à l'achat du modèle « SECUR » dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{123}{984}}=\mathrm{0,125}$.

   L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle est :$$\left[\mathrm{0,125}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}\times \left(1-\mathrm{0,125}\right)}{984}}};\mathrm{0,125}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,125}\times \left(1-\mathrm{0,125}\right)}{984}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,1043};\mathrm{0,1457}\right]$$

   L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle est :$I=\left[\mathrm{0,1043};\mathrm{0,1457}\right]$.

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2. Pour que l'industriel prenne le risque d'investir dans les portes « SECUR », il faudrait qu'au minimum 20 % des personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle.
   A-t-il intérêt à réaliser son projet ?

   L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle est :$I=\left[\mathrm{0,1043};\mathrm{0,1457}\right]$ par conséquent, il n'est pas raisonnable d'envisager qu'au moins 20 % des personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle.

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