sujet : France métropolitaine La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

1. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;12\right]$.
   $P\left(X⩽5\right)$ est égale à :

   X suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;12\right]$ d'où :$$P\left(X⩽5\right)={\displaystyle \frac{5-2}{12-2}}={\displaystyle \frac{3}{10}}$$

   a.   ${\displaystyle \frac{1}{2}}$

   b.  ${\displaystyle \frac{3}{10}}$

   c.   ${\displaystyle \frac{5}{12}}$

   d.   ${\displaystyle \frac{5}{7}}$

2. Une variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 20 et d'écart-type σ.
   $P\left(X⩽18\right)$ peut être égale à :

   X suit la loi normale d'espérance 20 d'où, $$P\left(X⩽18\right)=P\left(X⩽20\right)-P\left(18<X⩽20\right)=\mathrm{0,5}-P\left(18<X⩽20\right)$$On en déduit que $P\left(X⩽18\right)<\mathrm{0,5}$.

   a.  0,4

   b.   1,8

   c.   0,6

   d.   0,82

3. La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ. La durée de vie moyenne de ce composant électronique est de 5 ans.
   Le paramètre λ vaut :

   Soit T la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ. Comme la durée de vie moyenne de ce composant électronique est de 5 ans alors, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=5& \iff & \lambda ={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

   a.   5

   b.   0,5

   c.  0,2

   d.   $-\mathrm{0,2}$

4. Un argument du nombre complexe $z=\left(2-2\mathrm{i}\right)\times 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}$ est :

   $$\begin{array}{rcl}z=\left(2-2\mathrm{i}\right)\times 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{2}}& =& \left(2-2\mathrm{i}\right)\times 2\mathrm{i}\\ & =& 4\mathrm{i}-4{\mathrm{i}}^2\\ & =& 4+4\mathrm{i}\end{array}$$

   Le module du nombre complexe $z=4+4\mathrm{i}$ est : $$\left|z\right|=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

   Un argument θ du nombre complexe z est tel que :$$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \sin \mathrm{\theta }={\displaystyle \frac{4}{4\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}$$

   Soit $\arg \left(z\right)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left[2\pi \right]$.

   a.   ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

   b.  ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

   c.   ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

   d.   $4\sqrt{2}$

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