Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : France métropolitaine La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 2

Pour permettre un apport de lumière naturelle dans une habitation et réaliser des économies d'électricité, une solution réside dans l'installation d'un conduit de lumière au niveau de la toiture. Il s'agit d'un tube cylindrique en aluminium recouvert d'un film multicouche à base de polymère.
Dans ce conduit, le flux lumineux, exprimé en lumens (lm), diminue de 0,5 % tous les décimètres.
On rappelle qu'un décimètre vaut dix centimètres.

partie a

Dans cette partie, on suppose que le flux lumineux à l'entrée d'un tel conduit de lumière est de 4 000 lumens.
On pose $u_{0} = 4000$ . Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note $(u_{n})$ le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit de longueur n décimètres.

Justifier que $u_{1} = 3980$ .
Le flux lumineux diminue de 0,5 % tous les décimètres d'où : $u_{1} = 4000 \times (1 - \frac{0,5}{100}) = 4000 \times 0,995 = 3980$
Ainsi, $u_{1} = 3980$ .
Calculer le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit d'une longueur de 20 cm.
$u_{2} = 3980 \times 0,995 = 3960,1$
À la sortie d'un conduit d'une longueur de 20 cm le flux lumineux est égal à 3 960,1 lumens.
Justifier que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
Le coefficient multiplicateur associé à une perte de 0,5 % est égal à : $1 - \frac{0,5}{100} = 0,995$ .
Pour tout entier naturel n on a $u_{n + 1} = 0,995 \times u_{n}$ . Donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,995$ dont le premier terme est $u_{0} = 4000$ .
Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,995$ de premier terme $u_{0} = 4000$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 4000 \times {0,995}^{n}$ .
Un conduit de lumière de 2 mètres de long permettrait-il d'obtenir un flux lumineux d'au moins 3 600 lumens en sortie ?
$u_{20} = 4000 \times {0,995}^{20} \approx 3618$
On considère l'algorithme ci-dessous où n désigne un entier naturel et n un nombre réel.
$n \leftarrow 0$
$U \leftarrow 4000$
Tant que $U > 3000$
$n \leftarrow n + 1$
$U \leftarrow U \times 0,995$
Fin Tant que
1. Indiquer le contenu de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme.
  - méthode 1
    On exécute l'algorithme à la calculatrice
    À la fin de l'exécution de l'algorithme $n = 58$ .
  - méthode 2
    On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $\begin{array}{rcll} 4000 \times {0,995}^{n} ⩽ 3000 & \Leftrightarrow & {0,995}^{n} ⩽ \frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,995}^{n}) ⩽ \ln (0,75) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,995 ⩽ \ln (0,75) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (0,75)}{\ln 0,995} & \ln 0,995 < 0 \end{array}$
    Or $\frac{\ln (0,75)}{\ln 0,995} \approx 57,4$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $4000 \times {0,995}^{n} ⩽ 3000$ est $n = 58$ .
    À la fin de l'exécution de l'algorithme $n = 58$ .
2. Interpréter la réponse obtenue à la question précédente dans le contexte du conduit de lumière.
  Le flux lumineux à la sortie d'un conduit de longueur 5,8 mètres est inférieur à 3 000 lumens.

partie b

Dans une pièce sombre, on souhaite remplacer un éclairage électrique par l'installation d'un conduit de lumière d'une longueur de 4 mètres pour obtenir en sortie un flux lumineux d'au moins 3 100 lumens.

Déterminer le flux lumineux nécessaire à l'entrée de ce conduit.
Soit $(v_{n})$ la suite géométrique de raison $q = 0,995$ de premier terme $v_{0}$ . Pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = v_{0} \times {0,995}^{n}$ .
$v_{0}$ est solution de l'inéquation $v_{40} ⩾ 3100$ soit : $\begin{matrix} v_{0} \times {0,995}^{40} ⩾ 3100 & \Leftrightarrow & v_{0} ⩾ \frac{3100}{{0,995}^{40}} \approx 3788,2 \end{matrix}$
Le flux lumineux nécessaire à l'entrée de ce conduit est de 3 789 lumens.
La courbe ci-dessous modélise le flux lumineux, en lumens, à l'entrée de ce conduit en fonction de l'heure pour une journée donnée.
Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la plage horaire durant laquelle ce flux lumineux à l'entrée du conduit est suffisant.
Avec la précision permise par le graphique, c'est entre 8 h et 19 h 30 que le flux lumineux à l'entrée du conduit est suffisant.

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