sujet : France métropolitaine La Réunion septembre 2019

correction de l'exercice 3

L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction f du temps t, exprimé en minutes. On admet que cette fonction f, définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante :$$\left(E\right):y\prime +\mathrm{0,12}y=\mathrm{0,003}$$ À l'instant $t=0$, la concentration d'octane dans la cuve est de 0,5 mole par litre $\left(\mathrm{mol}·{\mathrm{L}}^{-1}\right)$.

1. 1. Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (E).

      Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x⟼k{\mathrm{e}}^{-ax}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

      Par conséquent, les solutions sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle $y\prime +\mathrm{0,12}y=\mathrm{0,003}$ sont les fonctions définies pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}$ où k est une constante réelle quelconque.

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   2. Donner $f\left(0\right)$.

      À l'instant $t=0$, la concentration d'octane dans la cuve est de 0,5 mole par litre d'où $f\left(0\right)=\mathrm{0,5}$.

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   3. Vérifier que la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}$.

      La condition $f\left(0\right)=\mathrm{0,5}$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0+\mathrm{0,025}=\mathrm{0,5}$ d'où $k=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,475}$

      Ainsi, la fonction f est définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $f\left(t\right)=\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}$.

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2. 1. Calculer la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      f est solution de l'équation différentielle (E) d'où $f\prime \left(t\right)+\mathrm{0,12}f\left(t\right)=\mathrm{0,003}$. Soit pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(t\right)+\mathrm{0,12}\times \left(\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}\right)=\mathrm{0,003}& \iff & f\prime \left(t\right)=\mathrm{0,003}-\mathrm{0,12}\times \left(\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}\right)\\ & \iff & f\prime \left(t\right)=-\mathrm{0,057}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}\end{array}$$

      La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(t\right)=-\mathrm{0,057}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}$.

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   2. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}>0$ donc pour tout réel t, $-\mathrm{0,057}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}<0$.

      Pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $f\prime \left(t\right)<0$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

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   3. Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.

      La concentration d'octane dans la cuve diminue en fonction du temps.

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3. Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de 0,25 mole par litre.

   Le temps t est solution de l'équation $$\begin{array}{rcl}\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}=\mathrm{0,25}& \iff & \mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}=\mathrm{0,225}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,225}}{\mathrm{0,475}}}\\ & \iff & \ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{9}{19}}\right)\\ & \iff & -\mathrm{0,12}t=\ln \left({\displaystyle \frac{9}{19}}\right)\\ & \iff & t=-{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{9}{19}}\right)}{\mathrm{0,12}}}\approx \mathrm{6,2}\end{array}$$

   Le temps nécessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de 0,25 mole par litre est d'environ 6 minutes.

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4. 1. Calculer, en justifiant votre réponse, $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte.

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }-\mathrm{0,12}t=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ alors, par composition des limites $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}=0$ d'où $\underset{t\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}t}+\mathrm{0,025}=\mathrm{0,025}$

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }f\left(t\right)=\mathrm{0,025}$. À partir d'un certain nombre de minutes, la concentration en octane dans la cuve restera proche de 0,025 mole par litre.

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   2. Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.

      $$f\left(60\right)=\mathrm{0,475}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,12}\times 60}+\mathrm{0,025}\approx \mathrm{0,0254}$$

      Au bout d'une heure, la concentration en octane dans la cuve est suffisamment proche la limite de 0,025 mole par litre donc le processus de transformation de l'octane en iso-octane peut être arrêté au bout d'une heure.

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