Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2019

correction de l'exercice 3

Une équipe de chercheurs japonais a découvert une bactérie nommée Ideonella Sakaiensis capable, sous certaines conditions, de digérer le plastique. Ces biologistes étudient l'évolution de la population des bactéries lors d'une mise en culture.

partie a

Dans une cuve, les chercheurs ont introduit 3 000 bactéries à l'instant $t = 0$ .
On modélise par $f (t)$ le nombre de bactéries (exprimé en milliers) présentes dans la cuve à l'instant t (exprimé en heures).
Pendant les 48 premières heures, la vitesse d'accroissement de la population est proportionnelle au nombre de bactéries. On admet donc que f est solution, sur $[0; 48]$ , de l'équation différentielle : $(E) : y' = 0,02 y$ où y désigne une fonction de la variable t.

Résoudre l'équation différentielle (E).
Les solutions de l'équation différentielle $y' + a y = 0$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $x ⟼ k e^{- a x}$ , où k est une constante réelle quelconque.
Comme $y' = 0,02 y \Leftrightarrow y' - 0,02 y = 0$ , on en déduit que les solutions sur $[0; 48]$ de l'équation différentielle $y' = 0,02 y$ sont les fonctions définies pour tout réel t de l'intervalle $[0; 48]$ par $f (t) = k e^{0,02 t}$ où k est une constante réelle quelconque.
Que vaut $f (0)$ ? En déduire une expression de $f (t)$ sur $[0; 48]$ .
Les chercheurs ont introduit 3 000 bactéries à l'instant $t = 0$ d'où $f (0) = 3000$ .
La condition $f (0) = 3000$ équivaut à $k e^{0} = 3000$ d'où $k = 3000$
Ainsi, la fonction f est définie sur $[0; 48]$ par $f (t) = 3000 e^{0,02 t}$ .
Au bout de combien de temps, le nombre de bactéries, aura-t-il doublé ? Arrondir le résultat au millième puis donner la réponse en heures et minutes.
Pour tout réel t : $\begin{array}{rcl} 3000 e^{0,02 t} = 6000 & \Leftrightarrow & e^{0,02 t} = 2 \\ \Leftrightarrow & \ln (e^{0,02 t}) = \ln 2 \\ \Leftrightarrow & 0,02 t = \ln 2 \\ \Leftrightarrow & t = \frac{\ln 2}{0,02} \approx 34,657 \end{array}$
Le nombre de bactéries aura doublé au bout d'environ 34 heures et 39 minutes.

partie b

Passés les deux premiers jours, le nombre de bactéries présentes dans la cuve est modélisé par la suite $(u_{n})$ définie par : ${\begin{array}{l} u_{0} = 7800 \\ u_{n + 1} = 0,95 u_{n} + 1500 pour tout entier naturel n \end{array}$ où $u_{n}$ correspond au nombre de bactéries présentes le n- jour après le deuxième jour de mise en culture.

Déterminer les valeurs de $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 0,95 \times 7800 + 1500 = 8910 \\ u_{2} = 0,95 \times 8910 + 1500 = 9964,5 \end{array}$
Ainsi, $u_{1} = 8910$ et $u_{2} = 9964,5$ .
1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin de déterminer le nombre de jours à partir duquel la population de bactéries dépasse 20 000.
  $u \leftarrow 7800$
  $n \leftarrow 0$
  Tant que $u ⩽ 20000$
  $u \leftarrow 0,95 \times u + 1500$
  $n \leftarrow n + 1$
  Fin Tant que
Après exécution de l'algorithme on obtient $n = 16$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
La population de bactéries dépasse 20 000 au bout de 18 jours.
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier $n ⩾ 0$ par $v_{n} = u_{n} - 30000$ .
On admet que cette suite est géométrique de raison 0,95.
1. Calculer $v_{0}$ .
  $v_{0} = 7800 - 30000 = - 22200$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_{0} = - 22200$ donc pour tout entier n, on a $v_{n} = - 22200 \times {0,95}^{n}$ .
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 30000 - 22200 \times {0,95}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 30000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 30000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 30000 - 22200 \times {0,95}^{n}$ .
4. En déduire la limite de $(u_{n})$ et interpréter ce résultat.
  $0 < 0,95 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,95}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 22200 \times {0,95}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} 30000 - 22200 \times {0,95}^{n} = 30000$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 30000$ . Ce qui signifie que selon ce modèle, à long terme, le nombre bactéries restera proche de 30 000.

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.