Baccalauréat technologique 2019 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2019

correction de l'exercice 2

Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

On considère la fonction f définie sur $[0; 4 [$ par : $f (x) = 10 x + \ln (4 - x) - \ln (4)$ . On note $𝒞_{f}$ sa courbe représentative dans un repère.

Calculer $f (0)$ .
$f (0) = \ln (4) - \ln (4) = 0$
1. Déterminer $\lim_{x \to 4} f (x)$ .
  $\lim_{\begin{matrix} x \to 4 \\ x < 4 \end{matrix}} 4 - x = 0^{+}$ et $\lim_{X \to 0^{+}} \ln (X) = - \infty$ alors $\lim_{\begin{matrix} x \to 4 \\ x < 4 \end{matrix}} \ln (4 - x) = - \infty$ .
  Comme d'autre part, $\lim_{x \to 4} 10 x - \ln (4) = 40 - \ln (4)$ , on en déduit que $\lim_{\begin{matrix} x \to 4 \\ x < 4 \end{matrix}} 10 x + \ln (4 - x) - \ln (4) = - \infty$ .
  Ainsi, $\lim_{x \to 4} f (x) = - \infty$ .
2. En déduire que la courbe $𝒞_{f}$ admet une asymptote dont on précisera une équation.
  Comme $\lim_{x \to 4} f (x) = - \infty$ alors, la courbe $𝒞_{f}$ admet pour asymptote la droite d'équation $x = 4$ .

On appelle $f'$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $[0; 4 [$ . Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle $[0; 4 [$ , on a : $f' (x) = \frac{39 - 10 x}{4 - x}$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $[0; 4 [$ , on a : $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 10 - \frac{1}{4 - x} \\ = & \frac{10 \times (4 - x) - 1}{4 - x} \\ = & \frac{39 - 10 x}{4 - x} \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 4 [$ par $f' (x) = \frac{39 - 10 x}{4 - x}$ .
Étudier le signe de $f' (x)$ pour tout x appartenant à l'intervalle $[0; 4 [$ .
Sur l'intervalle $[0; 4 [$ on a $4 - x < 0$ . Donc $f' (x)$ est du même signe que $39 - 10 x$ sur l'intervalle $[0; 4 [$ .
$f' (x) ⩾ 0$ sur l'intervalle $[0; 3,9]$ et $f' (x) ⩽ 0$ sur l'intervalle $[3,9; 4 [$ .

Justifier que la fonction f atteint un maximum en 3,9. Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de signe de $f'$ et des variations de la fonction f sur l'intervalle $[0; 4 [$ :

x	0		3,9			4
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	0		$39 - \ln (40)$		$- \infty$

Le maximum de la fonction f est atteint pour $x = 3,9$ et $f (3,9) = 39 + \ln (0,1) - \ln (4) = 39 - \ln (40) \approx 35,1$

La fonction f atteint un maximum en 3,9 et $f (3,9) = 39 - \ln (40) \approx 35,1$ .

partie b

Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de $100 km \cdot h^{- 1}$ en moins de 3 secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant :

dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à $35,3 m \cdot s^{- 1}$ (soit environ $127 km \cdot h^{- 1}$ ) en 3,9 s ;
dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à $35,3 m \cdot s^{- 1}$ .

L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous :

Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A et définie par : $\begin{array}{lrl} f (t) = 10 t + \ln (4 - t) - \ln (4) & avec & t \in [0; 3,9] \end{array}$ où t est exprimé en seconde et $f (t)$ est exprimée en $m \cdot s^{- 1}$ .

1. Calculer $f (3)$ .
  $f (3) = 30 + \ln (1) - \ln (4) = 30 - \ln (4)$
2. L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
  La vitesse v, exprimée en $km \cdot h^{- 1}$ , que la voiture électrique atteint au bout de 3 secondes est : $\begin{matrix} v = \frac{f (3) \times 3600}{1000} & soit & v = (30 - \ln 4) \times 3,6 \approx 103 \end{matrix}$
  La vitesse de la voiture est supérieure à $100 km \cdot h^{- 1}$ au bout de 3 secondes et, comme la fonction f est croissante sur l'intervalle $[0; 3,9]$ , on en déduit que l'affirmation du constructeur est vérifiée.
La distance D, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : $D = \int_{0}^{3,9} f (t) d t$ .
1. On considère la fonction F définie sur $[0; 3,9]$ par : $F (t) = 5 t^{2} - t + (t - 4) [\ln (4 - t) - \ln 4]$ .
  Montrer que la fonction F est une primitive de f.
  La fonction F est dérivable comme somme et produit de deux fonctions dérivables : $F = w + u v$ d'où $F' = w' + (u' v + u v')$ avec pour tout réel t de l'intervalle $[0; 3,9]$ : ${\begin{array}{lcl} w (t) = 5 t^{2} - t & ; & w' (t) = 10 t - 1 \\ u (t) = t - 4 & ; & u' (t) = 1 \\ v (t) = \ln (4 - t) - \ln 4 & ; & v' (t) = - \frac{1}{4 - t} \end{array}$ .
  Soit pour tout réel t de l'intervalle $[0; 3,9]$ , $\begin{array}{rcl} F' (t) & = & 10 t - 1 + 1 \times (\ln (4 - t) - \ln 4) + (t - 4) \times (- \frac{1}{4 - t}) \\ = & 10 t - 1 + \ln (4 - t) - \ln 4 + 1 \\ = & 10 t + \ln (4 - t) - \ln 4 \end{array}$
  Pour tout réel t de l'intervalle $[0; 3,9]$ on a $F' (t) = f (t)$ donc la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle $[0; 3,9]$ .
2. Calculer la distance D arrondie au dixième.
  $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{3,9} f (t) d t & = & F (3,9) - F (0) \\ = & (72,15 - 0,1 \times (- \ln (40))) - 0 \\ = & 72,15 + 0,1 \ln (40) \approx 72,5 \end{array}$
  La distance D parcourue durant la phase d'accélération est d'environ 72,5 m.

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