sujet : Polynésie 2019

correction de l'exercice 4

Cet exercice est composé de quatre affirmations indépendantes. Pour chacune d'entre elles, préciser si elle est juste ou fausse. Les réponses doivent être justifiées. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Une nouvelle gamme de téléphones portables est à l'étude.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en jour, du processeur de ce téléphone portable est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle dont l'espérance est égale à 10 000 jours. La durée de garantie légale du téléphone portable est de 2 ans, soit 730 jours.

   Affirmation 1 : La probabilité que le processeur s'arrête de fonctionner durant la période de garantie est égale à ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,073}}$.

   X suit la loi exponentielle de paramètre λ tel que :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=10000& \text{soit}& \lambda ={\displaystyle \frac{1}{10000}}=\mathrm{0,0001}\end{array}$$

   La probabilité que le processeur s'arrête de fonctionner avant 730 jours est :$$P\left(X⩽730\right)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{730}}\mathrm{0,0001}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0001}t}\mathrm{d}t}=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0001}\times 730}=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,073}}$$

   L'affirmation 1 est fausse.

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2. Pour anticiper la charge de travail du service après-vente, des tests ont été effectués en vue d'estimer le temps de réparation d'un téléphone sous garantie. Ce temps, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d'espérance $\mu =50$ et d'écart-type $\sigma =7$.

   Affirmation 2 : La probabilité, arrondie au millième, que le temps de réparation T soit inférieur à 1 heure est 0,923.

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(T<60\right)& =& P\left(T⩽50\right)+P\left(50<T<60\right)\\ & =& \mathrm{0,5}+P\left(50<T<60\right)\approx \mathrm{0,923}\end{array}$$

   L'affirmation 2 est vraie.

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3. Une amélioration technique a été apportée. Désormais, la probabilité qu'un téléphone soit réparable en moins d'une heure est estimée à $p=\mathrm{0,97}$. Un atelier du service après-vente prévoit de réparer 200 téléphones portables. On s'intéresse aux échantillons constitués, aléatoirement, de 200 téléphones portables à réparer.

   Affirmation 3 : Pour de tels échantillons, en arrondissant les bornes au millième, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure est $\left[\mathrm{0,946};\mathrm{0,994}\right]$.

   Comme $n⩾30$, $n\times p=200\times \mathrm{0,97}=194$ et $n\times \left(1-p\right)=200\times \mathrm{0,03}=6$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
   L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure dans un échantillon de taille 200 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,97}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{200}}};\mathrm{0,97}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{200}}}\right]\end{array}$$

   Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure dans un échantillon de taille 200 est $I=\left[\mathrm{0,946};\mathrm{0,994}\right]$.

   L'affirmation 3 est vraie.

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4. Un fabricant de processeurs pour téléphone portable certifie que, dans son stock, la probabilité qu'un processeur neuf soit défectueux est $p=\mathrm{0,0001}$.
   On désigne par Y la variable aléatoire correspondant au nombre de processeurs défectueux dans un lot de 200 prélevés au hasard. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=\mathrm{0,0001}$.

   Affirmation 4 : La probabilité, arrondie au millième, qu'il n'y ait aucun processeur défectueux dans un lot de 200 processeurs est égale à 0,980.

   Y suit la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=\mathrm{0,0001}$ d'où :$$P\left(Y=0\right)={\left(1-\mathrm{0,0001}\right)}^{200}={\mathrm{0,9999}}^{200}\approx \mathrm{0,980}$$

   L'affirmation 4 est vraie.

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