Pour tous évènements E et F, on note l'évènement contraire de E, la probabilité de E et, si F est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de E sachant F.
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.
Une scierie produit des planches en chêne, en sapin ou en bois de hêtre pour fabriquer des parquets massifs. Il existe deux qualités de planche : les planches déclassées (de moins bonne qualité) et les planches de premier choix (de qualité supérieure). On sait que :
De plus, 46 % des planches en chêne sont déclassées et 25 % des planches en sapin sont déclassées.
On choisit une planche au hasard dans la production de la scierie, et on définit les évènements suivants :
À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de , et .
Ainsi, , et .
On représente la situation par l'arbre suivant. Recopier l'arbre et compléter les pointillés.
L'arbre pondéré traduisant cette situation est :
Calculer la probabilité que la planche soit en chêne et déclassée.
est l'évènement « la planche est en en chêne et déclassée » de probabilité :
La probabilité que la planche soit en chêne et déclassée est égale à 0,092.
On sait que la scierie produit 32 % de planches déclassées. Montrer que .
La scierie produit 32 % de planches déclassées d'où . D'après la formule des probabilités totales : forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
Alors la probabilité d'un événement B est donnée par :
Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :
Or
Ainsi,
La probabilité que la planche soit en bois de hêtre et déclassée est égale à 0,063.
On choisit une planche de la production en bois de hêtre. Quelle est la probabilité qu'elle soit déclassée ?
La probabilité qu'une planche en bois de hêtre soit déclassée est égale à 0,45.
On choisit un lot de 10 planches au hasard, et on suppose que le nombre de planches déclassées dans ce lot peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres et .
Calculer et interpréter le résultat.
À l'aide de la calculatrice, .
Arrondie au millième près, la probabilité qu e dans un lot de 10 planches quatre planches soient déclassées est 0,218.
Calculer la probabilité qu'au moins une planche du lot soit déclassée.
Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins une planche du lot soit déclassée est 0,979.
L'épaisseur en millimètre d'une planche de sapin est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance et d'écart type .
L'épaisseur en millimètre d'une planche de chêne est modélisée par une variable aléatoire Z qui suit la loi normale d'espérance et d'écart type .
On sait de plus que .
Calculer .
À l'aide de la calculatrice,
La probabilité qu'une planche de sapin ait une épaisseur comprise entre 26,5 mm et 27,5 mm est .
Parmi les courbes , et ci-dessous, l'une représente la densité de probabilité de Y, une autre celle de Z.
Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de Y ? Justifier.
La courbe représentative de la fonction de densité de la loi normale de paramètres admet pour axe de symétrie la droite d'équation . Par conséquent, est la seule courbe qui convienne.
est la courbe représentant la fonction de densité de Y.
Quelle est la courbe représentant la fonction de densité de Z ? Justifier.
Les courbes et ont pour axe de symétrie la droite d'équation . Comme , en comparant l'allure des deux courbes avec celle de la courbe on déduit que la courbe est celle pour laquelle l'écart-type est plus important que celui de la courbe .
est la courbe représentant la fonction de densité de Z.
On sait que la probabilité qu'une planche en chêne ait une épaisseur comprise entre 24 mm et 26 mm est égale à environ 0,95. Donner une valeur approchée de l'écart type .
La variable aléatoire Z suit la loi normale d'espérance et d'écart type d'où .
Comme , on en déduit que ( ou ) soit .
On peut considérer que la variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne 25 et d'écart type .
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