sujet : France métropolitaine, La Réunion 2020

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

   1. Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle $\left[1;4\right]$, on a : $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+4x+6}{x}}$.

      La fonction f est dérivable comme somme de fonctions dérivables.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[1;4\right]$ : $$f\prime \left(x\right)=-2x+4+{\displaystyle \frac{6}{x}}={\displaystyle \frac{-2x^2+4x+6}{x}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[1;4\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-2x^2+4x+6}{x}}$.

      ---

   2. Dresser le tableau de signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

      Cherchons les racines du trinôme $-2x^2+4x+6$ avec $a=-2$, $b=4$ et $c=6$.

      Le discriminant du trinôme est : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=4^2-4\times \left(-2\right)\times 6=64\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-4-8}{-4}}=3\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-4+8}{-4}}=-1\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ :

      x	1		3		4
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   3. En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$. On arrondira les valeurs des images si nécessaire au millième.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

      x	1		3		4
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      Variations de f	$-2$		4,592		3,318

   calcul des éléments du tableau

   • $f\left(1\right)=-1+4-5+6\ln 1=-2$
   • $f\left(3\right)=-9+12-5+6\ln 3=-2+6\ln 3\approx \mathrm{4,592}$
   • $f\left(4\right)=-16+16-5+6\ln 4=-5+12\ln 2\approx \mathrm{3,318}$

2. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[1;4\right]$.
      Donner un encadrement de α d'amplitude ${10}^{-2}$.

      La fonction f est dérivable donc continue sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ avec $f\left(1\right)=-2$, $f\left(3\right)\approx \mathrm{4,592}$ et $f\left(4\right)\approx \mathrm{3,318}$. En outre :

      • Sur l'intervalle $\left[1;3\right]$, la fonction f est strictement croissante et $f\left(1\right)<0<f\left(3\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;3\right]$.
      • Sur l'intervalle $\left[3;4\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(4\right)>0$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left[3;4\right]$

      Ainsi, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α dans l'intervalle $\left[1;4\right]$. Avec la calculatrice, on trouve $\mathrm{1,28}<\alpha <\mathrm{1,29}$.

      ---

   2. En déduire le signe de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

      D'après les variations de la fonction f : sur l'intervalle $\left[1;\alpha \right]$ on a $f\left(x\right)⩽0$ et sur l'intervalle $\left[\alpha ;4\right]$, $f\left(x\right)⩾0$.

      ---

3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants, qu'on admettra dans la suite :

   1	Dériver ((-2x^ 2 + 4x + 6)/x)
   	$-2-{\displaystyle \frac{6}{x^2}}$
   2	Dériver (-x^3/3 + 2x^2 - 11x + 6x ln (x))
   	$-x^2+4x-5+6\ln \left(x\right)$

   1. En utilisant le premier résultat fourni par le logiciel, justifier que la courbe 𝒞 est située en-dessous de toutes ses tangentes.

      D'après le premier résultat fourni par le logiciel, on en déduit que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ par $$f″\left(x\right)=-2-{\displaystyle \frac{6}{x^2}}={\displaystyle \frac{-2\left(x^2+3\right)}{x^2}}$$

      Or, pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{-2\left(x^2+3\right)}{x^2}}<0$ donc $f″\left(x\right)<0$. On en déduit que la fonction f est concave sur l'intervalle $\left[1;4\right]$.

      La fonction f est concave sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ donc la courbe 𝒞 est située en-dessous de toutes ses tangentes.

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   2. En utilisant le deuxième résultat fourni par le logiciel, calculer l'intégrale I définie par : $I={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.
      Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au millième de I.

      D'après le deuxième résultat fourni par le logiciel, on en déduit qu'une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ par $$F\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2-11x+6x\ln \left(x\right)$$

      Comme F est une primitive de la fonction f alors $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left[-{\displaystyle \frac{4^3}{3}}+2\times 4^2-11\times 4+6\times 4\times \ln \left(4\right)\right]-\left[-{\displaystyle \frac{1^3}{3}}+2\times 1^2-11\times 1+6\times 1\times \ln \left(1\right)\right]\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{100}{3}}+24\ln \left(4\right)\right)-\left(-{\displaystyle \frac{28}{3}}\right)\\ & =& 48\ln \left(2\right)-24\end{array}$$

      $I={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=48\ln \left(2\right)-24\approx \mathrm{9,271}$.

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partie b

Chaque mois, un prothésiste dentaire produit entre 100 et 400 prothèses.
On admet que lorsque x centaines de prothèses sont fabriquées (avec $1⩽x⩽4$), le bénéfice, en millier d'euros, est donné par $f\left(x\right)$, où f est la fonction définie à la partie A.
Utiliser des résultats de la partie A pour répondre aux questions suivantes :

1. Combien de prothèses faut-il fabriquer pour obtenir un bénéfice maximal ? Donner ce bénéfice maximal à l'euro près.

   Le maximum de la fonction f est atteint pour $x=3$ et $f\left(3\right)\approx \mathrm{4,592}$ d'où :

   Il faut fabriquer 300 prothèses pour obtenir un bénéfice maximal d'environ 4 592 euros.

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2. Combien de prothèses faut-il fabriquer au minimum pour obtenir un bénéfice positif ?

   $f\left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[\alpha ;4\right]$ avec $\mathrm{1,28}<\alpha <\mathrm{1,29}$. Par conséquent, $f\left(x\right)>0$ pour $x>\mathrm{1,29}$ d'où :

   Il faut produire au moins 129 prothèses pour obtenir un bénéficepositif.

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3. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{4-1}}\times {\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{3}}\times \left(48\ln \left(2\right)-24\right)\\ & =& 16\ln \left(2\right)-8\approx \mathrm{3,090}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;4\right]$ est $m=16\ln \left(2\right)-8$. Le bénéfice moyen mensuel est donc d'environ 3 090 euros.

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