contrôle du 11 fevrier 2008

Corrigé de l'exercice

Soient $A\left({\displaystyle \frac{8}{5}};8;0\right)$, $B\left(3;0;5\right)$ et $C\left(5;{\displaystyle \frac{15}{4}};0\right)$ trois points de l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

1. 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

      Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AB}\left(3-{\displaystyle \frac{8}{5}};0-8;5-0\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AB}\left({\displaystyle \frac{7}{5}};-8;5\right)\\ \overrightarrow{AC}\left(5-{\displaystyle \frac{8}{5}};{\displaystyle \frac{15}{4}}-8;0-0\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AC}\left({\displaystyle \frac{17}{5}};-{\displaystyle \frac{17}{4}};0\right)\end{array}$$

      Il n'existe pas de réel k tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$ par conséquent :

      Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

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   2. Les points A, B, C et $D\left(0;{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right)$ sont-ils coplanaires ?

      Les points A, B, C et D sont dans un même plan si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires.

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AD}$ sont :$$\begin{array}{lll}\overrightarrow{AD}\left(0-{\displaystyle \frac{8}{5}};{\displaystyle \frac{5}{2}}-8;6-0\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AD}\left(-{\displaystyle \frac{8}{5}};-{\displaystyle \frac{11}{2}};6\right)\end{array}$$

      Existe-t-il deux réels a et b tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$   ? C'est à dire deux deux réels a et b solutions du système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{7}{5}}a+{\displaystyle \frac{17}{5}}b& =& -{\displaystyle \frac{8}{5}}\\ -8a-{\displaystyle \frac{17}{4}}b& =& -{\displaystyle \frac{11}{2}}\\ 5a& =& 6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& {\displaystyle \frac{6}{5}}\\ b& =& -{\displaystyle \frac{82}{85}}\end{array}\end{array}$$

      Donc $$\overrightarrow{AD}={\displaystyle \frac{6}{5}}\overrightarrow{AB}-{\displaystyle \frac{82}{85}}\overrightarrow{AC}$$

      Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires donc les points A, B, C et D sont dans un même plan.

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2. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_1$ passant par les points A, B et C.

   • méthode 1

     Les points A, B et C déterminent le plan $P_1$ d'équation $ax+by+cz=d$. Leurs coordonnées vérifient l'équation du plan.

     $A\left({\displaystyle \frac{8}{5}};8;0\right)\in P_1\iff {\displaystyle \frac{8}{5}}a+8b=d$ ; $B\left(3;0;5\right)\in P_1\iff 3a+5c=d$ et $C\left(5;{\displaystyle \frac{15}{4}};0\right)\in P_1\iff 5a+{\displaystyle \frac{15}{4}}b=d$

     Soit a, b et c sont solutions du système :$$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{8}{5}}a+8b=d\\ 5a+{\displaystyle \frac{15}{4}}b=d\\ 3a+5c=d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rr}{\displaystyle \frac{8}{5}}a+8b=d& \\ 34a={\displaystyle \frac{17}{4}}d& L_2^{\prime }\leftarrow 8L_2-{\displaystyle \frac{15}{4}}{L}_1\\ 3a+5c=d& \end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{d}{5}}+8b=d\\ a={\displaystyle \frac{d}{8}}\\ {\displaystyle \frac{3}{8}}d+5c=d\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{r}a={\displaystyle \frac{d}{8}}\\ b={\displaystyle \frac{d}{10}}\\ c={\displaystyle \frac{d}{8}}\end{array}\end{array}$$

     Une équation du plan $P_1$ est donc ${\displaystyle \frac{d}{8}}x+{\displaystyle \frac{d}{10}}y+{\displaystyle \frac{d}{8}}z=d$. En choisissant $d=40$ on obtient $a=5$, $b=4$ et $c=5$

     Ainsi, une équation du plan $P_1$ est $5x+4y+5z=40$.

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   • méthode 2

     Le plan $P_1$ est l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ tels que les points A, B, C et M sont coplanaires. C'est à dire, qu'il existe deux réels a et b tels que $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$, avec $\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}\left(x-{\displaystyle \frac{8}{5}};y-8;z-0\right)\end{array}$.
     Les coordonnées du point $M\left(x;y;z\right)$ vérifient le système $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{7}{5}}a+{\displaystyle \frac{17}{5}}b& =& x-{\displaystyle \frac{8}{5}}\\ -8a-{\displaystyle \frac{17}{4}}b& =& y-8\\ 5a& =& z\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}7a+17b& =& 5x-8\\ -32a-17b& =& 4y-32\\ a& =& {\displaystyle \frac{z}{5}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rclr}7a+17b& =& 5x-8& \\ -25a& =& 5x+4y-40& L_2^{\prime }\leftarrow L_1+L_2\\ a& =& {\displaystyle \frac{z}{5}}\end{array}& \\ & \iff & \{\begin{array}{rcl}7a+17b& =& 5x-8\\ -5z& =& 5x+4y-40\\ a& =& {\displaystyle \frac{z}{5}}\end{array}\end{array}$$

     Les coordonnées de l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ appartenant au plan $P_1$ vérifient la relation $-5z=5x+4y-40$

     Ainsi, une équation du plan $P_1$ est $5x+4y+5z=40$.

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3. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_2$ parallèle à l'axe (Ox) et passant par les points A et B.

   Le plan $P_2$ est parallèle à l'axe (Ox) son équation cartésienne est de la forme : $$ay+bz=d$$

   $A\left({\displaystyle \frac{8}{5}};8;0\right)\in P_2\iff 8a=d$ et $B\left(3;0;5\right)\in P_2\iff 5b=d$. D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}8a& =& d\\ 5b& =& d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& {\displaystyle \frac{d}{8}}\\ b& =& {\displaystyle \frac{d}{5}}\end{array}\end{array}$$

   Une équation du plan $P_2$ est donc ${\displaystyle \frac{d}{8}}y+{\displaystyle \frac{d}{5}}z=d$. En choisissant $d=40$ on obtient $a=5$ et $b=8$

   Ainsi, une équation du plan $P_2$ est $5y+8z=40$.

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4. En déduire que la droite (AB) est caractérisée par le système d'équations : $\{\begin{array}{rcl}5x+4y+5z& =& 40\\ 5y+8z& =& 40\end{array}$

   Le plan $P_1$ n'est pas parallèle à l'axe des abscisses donc les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants selon une droite. Comme les points A et B appartiennent aux plans $P_1$ et $P_2$, on en déduit que :

   la droite (AB) est caractérisée par le système d'équations : $\{\begin{array}{rcl}5x+4y+5z& =& 40\\ 5y+8z& =& 40\end{array}$.

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5. On considère le plan Q d'équation $6x+5z=30$.

   1. Les points C et D appartiennent-ils au plan Q ?

      • $6\times 5+5\times 0=30$. Les coordonnées du point $C\left(5;{\displaystyle \frac{15}{4}};0\right)$ vérifient l'équation du plan Q donc le point C appartient au plan Q.
      • $6\times 0+5\times 6=30$. Les coordonnées du point $D\left(0;{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right)$ vérifient l'équation du plan Q donc le point D appartient au plan Q.

      C et D sont deux points du plan Q.

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   2. Déterminer un système d'équations qui caractérise la droite (CD).

      Les points C et D appartiennent aux plans $P_1$ et Q. Or le plan $P_1$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées donc les plans $P_1$ et Q sont sécants selon une droite.

      La droite (CD) est caractérisée par le système d'équations : $\{\begin{array}{rcl}5x+4y+5z& =& 40\\ 6x+5z& =& 30\end{array}$.

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6. Le plan Q est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ donné ci-dessous.
   Représenter les plans $P_1$ et $P_2$ par leurs traces dans le même repère ainsi que les droites (AB) et (CD).

   • Les coordonnées des points d'intersection du plan $P_1$ avec les axes du repère sont $\left(8;0;0\right)$, $\left(0;10;0\right)$ et $\left(0;0;8\right)$.
   • Le plan $P_2$ est parallèle à l'axe des abscisses. Les coordonnées des points d'intersection du plan $P_2$ avec les axes du repère sont $\left(0;8;0\right)$ et $\left(0;0;5\right)$
   • (AB) est la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$.
   • (CD) est la droite d'intersection des plans $P_1$ et Q.

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7. La droite (EF) est définie par le système $\{\begin{array}{rcl}5y+8z& =& 40\\ 6x+5z& =& 30\end{array}$. Les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont-elles concourantes en un point ?

   (EF) est la droite d'intersection des plans $P_2$ et Q. Par conséquent, les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes en un point si, et seulement si, les trois plans $P_1$, $P_2$ et Q sont sécants en un point $S\left(x;y;z\right)$ dont les coordonnées sont solutions du système $$\begin{array}{lcl}\{\begin{array}{rcl}5x+4y+5z& =& 40\\ 5y+8z& =& 40\\ 6x+5z& =& 30\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcll}5x+4y+5z& =& 40& \\ 40x+7y& =& 120& L_2^{}\leftarrow 8L_1-5L_2\\ x-4y& =& -10& L_3^{}\leftarrow L_3-L_1\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcll}5x+4y+5z& =& 40& \\ 167y& =& 520& L_2^{}\leftarrow L_2-40L_3\\ x-4y& =& -10& \end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rcll}x& =& {\displaystyle \frac{410}{167}}& \\ y& =& {\displaystyle \frac{520}{167}}\\ z& =& {\displaystyle \frac{510}{167}}\end{array}\end{array}$$

   Les trois plans $P_1$, $P_2$ et Q sont sécants en un point $S\left({\displaystyle \frac{410}{167}};{\displaystyle \frac{520}{167}};{\displaystyle \frac{510}{167}}\right)$.

   Les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont concourantes en un point $S\left({\displaystyle \frac{410}{167}};{\displaystyle \frac{520}{167}};{\displaystyle \frac{510}{167}}\right)$.

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