contrôle du 11 fevrier 2008

Sujet

Soient $A\left({\displaystyle \frac{8}{5}};8;0\right)$, $B\left(3;0;5\right)$ et $C\left(5;{\displaystyle \frac{15}{4}};0\right)$ trois points de l'espace muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

1. 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

   2. Les points A, B, C et $D\left(0;{\displaystyle \frac{5}{2}};6\right)$ sont-ils coplanaires ?

2. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_1$ passant par les points A, B et C.

3. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_2$ parallèle à l'axe (Ox) et passant par les points A et B.

4. En déduire que la droite (AB) est caractérisée par le système d'équations :$$\{\begin{array}{rcl}5x+4y+5z& =& 40\\ 5y+8z& =& 40\end{array}$$

5. On considère le plan Q d'équation $6x+5z=30$.

   1. Les points C et D appartiennent-ils au plan Q ?

   2. Déterminer un système d'équations qui caractérise la droite (CD).

6. Le plan Q est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ donné ci-dessous.
   Représenter les plans $P_1$ et $P_2$ par leurs traces dans le même repère ainsi que les droites (AB) et (CD).

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7. La droite (EF) est définie par le système $\{\begin{array}{rcl}5y+8z& =& 40\\ 6x+5z& =& 30\end{array}$.
   Les trois droites (AB), (CD) et (EF) sont-elles concourantes en un point ?

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