contrôles en première ES spécialité

contrôle du 12 mars 2009

Corrigé de l'exercice

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ . On considère les points $A (3; 0; 2)$ , $B (0; 3; 4)$ , $C (0; 0; 8)$ et $D (0; 6; 0)$ .

1. Placer dans le repère ci-dessus, les points A, B, C et D.
2. Montrer que les points A, B et C déterminent un plan $P_{1}$ .
  Les vecteurs $\vec{A B} (- 3; 3; 2)$ et $\vec{A C} (- 3; 0; 6)$ n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles ; donc les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ ne sont pas colinéaires par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.
  Les points A, B et C ne sont pas alignés, ils déterminent un plan.
3. Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?
  On cherche à déterminer s'il existe deux réels a et b tels que $\vec{A D} = a \vec{A B} + b \vec{A C}$ .
  Or les coordonnées du vecteur $\vec{A D}$ sont $\vec{A D} (- 3; 6; - 2)$ . D'où : $\begin{array}{l} \vec{A D} = a \vec{A B} + b \vec{A C} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} - 3 a - 3 b & = & - 3 \\ 3 a & = & 6 \\ 2 a + 6 b & = & - 2 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a + b & = & 1 \\ a & = & 2 \\ a + 3 b & = & - 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} b & = & - 1 \\ a & = & 2 \\ a + 3 b & = & - 1 \end{array} \end{array}$
  Ainsi, $\vec{A D} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ donc D est un point du plan (ABC).
4. Déterminer une équation cartésienne du plan $P_{1}$ passant par les points A, B et C.
  Les points A, B et C déterminent le plan $P_{1}$ d'équation $a x + b y + c z = d$ . Leurs coordonnées vérifient l'équation du plan.
  $A (3; 0; 2) \in P_{1} \Leftrightarrow 3 a + 2 c = d$ ; $B (0; 3; 4) \in P_{1} \Leftrightarrow 3 b + 4 c = d$ et $C (0; 0; 8) \in P_{1} \Leftrightarrow 8 c = d$
  Soit a, b et c sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} 3 a + 2 c & = & d \\ 3 b + 4 c & = & d \\ 8 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 3 a + 2 c & = & d \\ 3 b + 4 c & = & d \\ c & = & \frac{d}{8} \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & \frac{d}{4} \\ b & = & \frac{d}{6} \\ c & = & \frac{d}{8} \end{array} \end{matrix}$
  Une équation du plan $P_{1}$ est donc $\frac{d}{4} x + \frac{d}{6} y + \frac{d}{8} z = d$ . En choisissant $d = 24$ on obtient $a = 6$ , $b = 4$ et $c = 3$
  Ainsi, une équation du plan $P_{1}$ est $6 x + 4 y + 3 z = 24$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan $P_{2}$ parallèle à l'axe (Oy) et passant par les points A et B.
Le plan $P_{2}$ est parallèle à l'axe (Oy) son équation cartésienne est de la forme $a x + c z = d$
Or $A (3; 0; 2) \in P_{2} \Leftrightarrow 3 a + 2 c = d$ et $B (0; 3; 4) \in P_{2} \Leftrightarrow 4 c = d$ . Donc a et c sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{array}{r} 3 a + 2 c & = & d \\ 4 c & = & d \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} 3 a + 2 c & = & d \\ c & = & \frac{d}{4} \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} a & = & \frac{d}{6} \\ c & = & \frac{d}{4} \end{array} \end{matrix}$
Une équation cartésienne du plan $P_{2}$ est : $\frac{d}{6} x + \frac{d}{4} z = d$ . Si on attribue par exemple à d la valeur 12 on obtient $a = 2$ et $c = 3$
Le plan $P_{2}$ a pour équation $2 x + 3 z = 12$ .
1. Préciser la nature de l'ensemble Δ des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient le système ${\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \end{array}$
  L'ensemble Δ des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient ${\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \end{array}$ est l'intersection des plans $P_{1}$ et $P_{2}$ . Or deux plans sont sécants en une droite.
  Ainsi, Δ est la droite caractérisée par le système d'équations ${\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \end{array}$
2. Les points A et B sont-ils éléments de l'ensemble Δ ?
  Les points A et B sont deux points des plans $P_{1}$ et $P_{2}$ . Ils sont donc sur la droite Δ.
  La droite Δ est la droite (AB)
On admet que le plan $P_{1}$ a pour équation $6 x + 4 y + 3 z = 24$ et que le plan $P_{2}$ a pour équation $2 x + 3 z = 12$ . Le plan Q d'équation $6 y + 5 z = 30$ est représenté par ses traces avec les plans de coordonnées dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ ci-dessus.
1. Représenter les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ par leurs traces avec les plans de base ainsi que la droite (AB).
2. Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique. ${\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \\ 6 y + 5 z & = & 30 \end{array}$
  $\begin{array}{l} {\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \\ 6 y + 5 z & = & 30 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 4 y - 6 z & = & - 12 \\ 6 y + 5 z & = & 30 \end{array} & \begin{matrix} L_{2} \leftarrow L_{1} - 2 \times L_{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 y - 3 z & = & - 6 \\ 14 z & = & 48 \end{array} & \begin{array}{l} L_{2} \leftarrow 0,5 \times L_{2} \\ L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 \times L_{2} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 y - 3 z & = & - 6 \\ z & = & \frac{24}{7} \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} x & = & \frac{6}{7} \\ y & = & \frac{15}{7} \\ z & = & \frac{24}{7} \end{array} \end{array}$
  Le système admet pour solution le triplet $(\frac{6}{7}; \frac{15}{7}; \frac{24}{7})$
  L'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées vérifient ${\begin{array}{rcl} 6 x + 4 y + 3 z & = & 24 \\ 2 x + 3 z & = & 12 \\ 6 y + 5 z & = & 30 \end{array}$ est l'intersection des plans $P_{1}$ , $P_{2}$ et Q.
  Les plans $P_{1}$ , $P_{2}$ et Q se coupent en un point M de coordonnées $M (\frac{6}{7}; \frac{15}{7}; \frac{24}{7})$

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