contrôle du 04 juin 2012

Corrigé de l'exercice 1

Une usine fabrique des articles en grande quantité, dont certains sont défectueux. La direction estime que 10 % des articles fabriqués sont défectueux.
On prélève un échantillon aléatoire supposé avec remise de 200 articles. Soit X la variable aléatoire associée au nombre d'articles défectueux dans l'échantillon.

1. Quelle est la loi de probabilité de X ?

   On prélève un échantillon aléatoire supposé avec remise de 200 articles donc X suit la loi binomiale $ℬ\left(200;\mathrm{0,1}\right)$ de paramètres $n=200$ et $p=\mathrm{0,1}$.

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2. Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence d'articles défectueux dans les échantillons de taille 200.

   Selon la loi binomiale $ℬ\left(200;\mathrm{0,1}\right)$.

   • Le plus petit entier a tel que $P\left(X⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=12$.
   • Le plus petit entier b tel que $P\left(X⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=29$.

   Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des articles défectueux dans un échantillon de taille 200 est :$$I=\left[{\displaystyle \frac{12}{200}};{\displaystyle \frac{29}{200}}\right]=\left[\mathrm{0,06};\mathrm{0,145}\right]$$

   Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des articles défectueux dans un échantillon de taille 200 est $I=\left[\mathrm{0,06};\mathrm{0,145}\right]$.

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3. Sur les 200 articles prélevés on trouve 27 articles défectueux. Au seuil de risque de 5 % que penser de l'hypothèse de la direction ?

   La fréquence du nombre d'articles défectueux dans cet échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{27}{200}}=\mathrm{0,135}$$

   $\mathrm{0,135}\in \left[\mathrm{0,06};\mathrm{0,145}\right]$. La fréquence observée d'articles défectueux dans cet échantillon appartient à l'intervalle de fluctuation à 95 %.

   Ce résultat ne remet pas en question l'affirmation de la direction selon laquelle 10 % des articles fabriqués sont défectueux.

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