contrôles en première ES

contrôle du 03 octobre 2011

Le second degré :

Équations et inéquations
Variations
Étude d'un bénéfice

exercice 1

Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a \neq 0$ .

Soit f est une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.
Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ?
1. $a > 0$ et $Δ < 0$ .
2. $a < 0$ et $Δ = 0$ .
3. $a < 0$ et $Δ < 0$ .
4. La courbe représentatve de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points.
5. L'équation $f (x) = 0$ admet une seule solution.

Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré $f_{1}$ , $f_{2}$ , $f_{3}$ et $f_{4}$ .

À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :
$f_{1}$ : $a > 0$ et $Δ < 0$ ; $f_{2}$ : $a > 0$ et $Δ > 0$ ; $f_{3}$ : $a < 0$ et $Δ = 0$ ; $f_{4}$ : $a < 0$ et $Δ > 0$ .

exercice 2

Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = - 2 x^{2} + 8 x - 7$ .
f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = x^{2} - \frac{x}{2} - 3$ .

exercice 3

Résoudre dans $ℝ$ les équations suivantes :
1. $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .
2. $5 x^{2} - 9 x + 3 = - 4 x^{2} + 3 x - 1$ .
Résoudre dans $ℝ$ les inéquations suivantes :
1. $- 6 x^{2} - x + 2 ⩽ 0$ .
2. $4 x^{2} < 8 x - 3$ .

exercice 4

Une entreprise fabrique un produit « Bêta ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction C définie sur $] 0; 15]$ par : $C (x) = 0,5 x^{2} + 0,6 x + 8,16$ La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.

On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.

Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 4 000 articles ou fabriquer et vendre 12 00 articles ?
On désigne par $R (x)$ le montant en milliers d'euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers d'articles du produit « Bêta ». On a donc $R (x) = 8 x$ .
1. Tracer dans le repère donné en annexe, la courbe D représentative de la fonction recette.
2. Par lecture graphique et avec la précision permise par le dessin, déterminer :
  − l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif ;
  − la production $x_{0}$ pour laquelle le bénéfice est maximal.
On désigne par $B (x)$ le bénéfice mensuel, en milliers d'euros, réalisé lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles.
1. Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d'euros, lorsque l'entreprise produit et vend x milliers d'articles, est donné par $B (x) = - 0,5 x^{2} + 7,4 x - 8,16$ , avec $x \in] 0; 15]$ .
2. Étudier le signe de $B (x)$ . En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
3. Étudier les variations de la fonction B sur $] 0; 15]$ . En déduire le nombre d'articles qu'il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?

annexe

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