contrôle du 18 octobre 2011

Corrigé de l'exercice 2

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-5;+\infty \right[$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère.
Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points A et C d'abscisses respectives − 1,5 et 4 sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(1;12\right)$ passe par le point $D\left(5;2\right)$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[-5;+\infty \right[$. À l'aide des informations précédentes et de la figure ci-dessus, préciser :

   1. Les valeurs de $f\prime \left(-\mathrm{1,5}\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

      • Le nombre dérivé $f\prime \left(-\mathrm{1,5}\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse − 1,5. Or la tangente à la courbe $C_f$ au point au point A d'abscisse − 1,5 est parallèle à l'axe des abscisses donc :

        $f\prime \left(-\mathrm{1,5}\right)=0$.

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      • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 1. Or la tangente à la courbe $C_f$ au point $B\left(1;12\right)$ passe par le point $D\left(5;2\right)$ donc $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{12-2}{1-5}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$$

        Ainsi, $f\prime \left(1\right)=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

        ---

   2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      Graphiquement, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. On considère la fonction g définie par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ . On note $C_g$ sa courbe représentative.

   1. Expliquer pourquoi la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$.

      La fonction inverse n'est pas définie en 0. Par conséquent, la fonction g est définie pour tout réel x tel que $f\left(x\right)\ne 0$.

      Ainsi, la fonction g est définie sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$.

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   2. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition. Interpréter graphiquement ces résultats.

      • $\underset{x\to -5}{\lim }f\left(x\right)=0$ avec $f\left(x\right)>0$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ donc par composition des limites $\underset{x\to -5}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=+\infty$

        Ainsi, $\underset{x\to -5}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe $C_g$ admet pour asymptote la droite d'équation $x=-5$.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=0$ donc par composition des limites $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}=0$

        Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ donc l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_g$ au voisinage de $+\infty$.

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   3. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

      La fonction g est définie sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ donc sur cet intervalle, les fonctions f et g ont des variations contraires :

      x	− 5				1,5		4		$+\infty$
      $g\left(x\right)$			$+\infty$						0

   4. Donner une équation de la tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 1.

      La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\left]-5;+\infty \right[$ et pour tout réel $x>-5$, $$g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2}}$$

      La tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation $$\begin{array}{ccc}y=g\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+g\left(1\right)& \text{Soit}& y=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(1\right)}{{\left[f\left(1\right)\right]}^2}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{f\left(1\right)}}\hfill \\ & \iff & y=-{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{5}{2}}}{{12}^2}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{12}}\hfill \\ & \iff & y={\displaystyle \frac{5}{288}}x+{\displaystyle \frac{19}{288}}\hfill \end{array}$$

      La tangente T à la courbe $C_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y={\displaystyle \frac{5x+19}{288}}$.  

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