sujet : Polynésie 2014

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie la réponse choisie.

Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe $z=-2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}$.

1. Le complexe $z^3$ est égal à :

   $$\begin{array}{ccc}{z}^3& =& {\left(-2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\right)}^3\hfill \\ & =& {\left(-2\right)}^3\times {\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\frac{\pi }{3}\times 3}\hfill \\ & =& -8{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi }\hfill \\ & =& -8\hfill \end{array}$$

   a.   8

   b.   $-8$

   c.   $8\mathrm{i}$

   d.   $-8\mathrm{i}$

2. Un argument de z est :

   Comme ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=-1$ alors la forme exponentielle de z est : $$\begin{array}{ccccccc}z& =& -2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}& =& 2{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\times {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }& =& 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{3}}\end{array}$$ Un argument de z est ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   a.   $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   b.   ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

   c.   $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

   d.   ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

3. On considère l'équation différentielle $y\prime -3y=2$ où y désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
   Une solution f de cette équation est la fonction de la variable x vérifiant pour tout réel x :

   L'équation différentielle $y\prime -3y=2$ est de la forme $y\prime +ay=b$ avec $a=-3$ et $b=2$.

   Les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme $x⟼k{\mathrm{e}}^{3x}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, où k est une constante réelle.

   Donc en choisissant $k=1$, la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ est une solution de cette équation.

   a.   $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-3x}$

   b.   $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$

   c.   $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{2}{3}x}$

   d.   $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{3x}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

4. La solution f de l'équation différentielle $y″+4{\pi }^{2}y=0$ qui vérifie $f\left(0\right)=-1$ et $f\prime \left(0\right)=0$ admet comme représentation graphique :

   • Les conditions initiales $f\left(0\right)=-1$ et $f\prime \left(0\right)=0$ permettent d'éliminer les courbes proposées en a. et d.

   • L'équation différentielle $y″+4{\pi }^{2}y=0$ est de la forme $y″+{\omega }^{2}y=0$ avec ${\omega }^2=4{\pi }^2$.

     En prenant $\omega =2\pi$, les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme $x⟼C_1\cos \left(2\pi x\right)+C_2\sin \left(2\pi x\right)$, où $C_1$ et $C_2$ sont deux une constantes réelles.

   • $f\left(0\right)=-1$ d'où $C_1\cos \left(0\right)+C_2\sin \left(0\right)=-1$ donc $C_1=-1$. Soit $f\left(x\right)=-\cos \left(2\pi x\right)+C_2\sin \left(2\pi x\right)$. Par conséquent, $f\left(1\right)=-\cos \left(2\pi \right)+C_2\sin \left(2\pi \right)$.

   La courbe c. est la seule qui puisse convenir.

   a.	b.
   c.	d.

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