sujet : France métropolitaine septembre 2015

correction de l'exercice 3

partie a

Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent par la représentation graphique ci-dessous.

1. Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.

   Par lecture graphique, on constate que la condition «la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes» est la premiére a être réalisée d'où :

   avec la précision permise par le graphique, un signal d'alarme devrait retentir au bout de 80 minutes.

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2. Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?

   La concentration de monoxyde de carbone dépasse 20 ppm et est inférieure à 80 ppm d'après le document 2 :

   Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risque de présenter les symptômes suivants : «Troubles du rythme cardiaque ressentis chez les personnes les plus sensibles, souffrant de coronaropathie» et «Céphalées et nausées chez les enfants».

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partie b

Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à 10^-2 près.

La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction f définie sur $\left[0;8\right]$ par $$f\left(t\right)=\mathrm{2,2}+200t{\mathrm{e}}^{-t}$$

1. Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce :

   1. au moment de l'accident ;

      $f\left(0\right)=\mathrm{2,2}$ par conséquent, au moment de l'accident, la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce est de 2,2 ppm.

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   2. 30 minutes après.

      $$f\left(\mathrm{0,5}\right)=\mathrm{2,2}+200\times \mathrm{0,5}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}=\mathrm{2,2}+100\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx \mathrm{62,85}$$

      Une demi-heure après le début de l'accident, la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce est de 62,85 ppm.

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2. À l'aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.

   Par lecture graphique, le tableau de variation de la fonction f est :

   t	0		1		8
   variations de f

3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.

   1. Montrer que pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;8\right]$, $f\prime \left(t\right)=200\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}$.

      f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur $\left[0;8\right]$ :
      $f=\mathrm{2,2}+uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel t, $\{\begin{array}{ccc}u\left(t\right)=200t\hfill & \text{;}& u\prime \left(t\right)=200\hfill \\ v\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-t}\hfill & \text{;}& v\prime \left(t\right)=-{\mathrm{e}}^{-t}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel t : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(t\right)& =& 200\times {\mathrm{e}}^{-t}+200t\times \left(-{\mathrm{e}}^{-t}\right)\hfill \\ & =& 200\times {\mathrm{e}}^{-t}-200t\times {\mathrm{e}}^{-t}\hfill \\ & =& 200{\mathrm{e}}^{-t}\times \left(1-t\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\prime \left(t\right)=200\left(1-t\right){\mathrm{e}}^{-t}$.

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   2. Étudier le signe de $f\prime \left(t\right)$ sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.

      Comme pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-t}>0$ alors, $f\prime \left(t\right)$ est du même signe que $\left(1-t\right)$ sur l'intervalle $\left[0;8\right]$. Or $$\begin{array}{ccc}1-t⩽0& \iff & t⩾1\end{array}$$ D'où le tableau du signe de $f\prime \left(t\right)$ :

      t	0		1		8
      Signe de $f\prime \left(t\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   3. Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      t	0		1		8
      $f\prime \left(t\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(t\right)$			$\mathrm{2,2}\mathrm{+}200{\mathrm{e}}^{-1}$

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4. On note F la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $F\left(t\right)=\mathrm{2,2}t-200\left(t+1\right){\mathrm{e}}^{-t}$. On admet que F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.

   1. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle $\left[a;b\right]$ est le nombre réel défini par : ${\displaystyle \frac{1}{b-a}}\times {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\mathrm{d}t}$.
      Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors des 8 heures qui ont suivi l'accident.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{8-0}}\times {\displaystyle {\int }_0^{8}f\left(t\right)\mathrm{d}t}& =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\times \left[F\left(8\right)-F\left(0\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\times \left[\left(\mathrm{2,2}\times 8-200\times 9\times {\mathrm{e}}^{-8}\right)-\left(-200\times {\mathrm{e}}^0\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{8}}\times \left(\mathrm{17,6}-1800\times {\mathrm{e}}^{-8}+200\right)\\ & =& \mathrm{27,2}-225\times {\mathrm{e}}^{-8}\approx \mathrm{27,12}\end{array}$$

      La valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors des 8 heures qui ont suivi l'accident est d'environ 27,12 ppm.

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   2. Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de 50 ppm pour une période de 8 heures.
      La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause lors de l'accident simulé ?

      La valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors des 8 heures qui ont suivi l'accident est inférieure à 50 ppm par conséquent, la sécurité des personnes présentes dans la pièce n'a pas été remise en cause lors de l'accident simulé.

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