sujet : France métropolitaine septembre 2015

correction de l'exercice 4

1. Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.

   	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T
   1	Année	1769	1800	1808	1857	1865	1868	1906	1925	1927	1933	1952	1957	1971	1989	2004	2008	2010	2014	Total
   2			31	8	49	8	3	38	19	2	6	19	5	14	18	15	4	2	4	245

   1. Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.

      Le titre suggéré pour la cellule A2 est « Temps écoulé entre deux seismes majeurs »

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   2. Quelle formule a saisi l'élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu'à la colonne S par « recopie automatique vers la droite » ?

      La formule saisie dans la cellule C2 est : « = C1 - B1 »

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2. 1. Calculer en années la moyenne m, arrondie à 10^-2 près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.

      Il y a 17 périodes de temps écoulé d'où $$m={\displaystyle \frac{245}{17}}\approx \mathrm{14,41}$$

      La moyenne du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas est de 14,41 années.

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   2. Justifier qu'une approximation du paramètre λ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire X est 0,0694.

      L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre λ est $E\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$ d'où $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}=\mathrm{14,41}& \iff & \lambda ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{14,41}}}\approx \mathrm{0,0694}\end{array}$$

      Une approximation du paramètre λ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire X est 0,0694.

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3. 1. Calculer $P\left(X⩽20\right)$ à 10^-2 près.

      $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩽20\right)& =& {\displaystyle {\int }_0^{20}\mathrm{0,0694}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}\times t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& {\left[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}\right]}_0^{20}\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,388}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,75}\hfill \end{array}$$

   2. L'affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle ?

      $P\left(X⩽20\right)\approx \mathrm{0,75}$ donc l'affirmation du sismologue est cohérente avec cette modélisation.

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4. Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
   Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à 10^-2 près.

   $2050-2014=36$ et $$\begin{array}{rcl}P\left(X>36\right)& =& 1-P\left(X⩽36\right)\hfill \\ & =& 1-{\displaystyle {\int }_0^{36}\mathrm{0,0694}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}\times t}\mathrm{d}t}\hfill \\ & =& 1-{\left[-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}\right]}_0^{36}\hfill \\ & =& {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2,4984}}\hfill \\ & \approx & \mathrm{0,08}\hfill \end{array}$$

   La probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas avant 2050 est environ 0,08.

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5. 1. Résoudre l'équation $1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}=\mathrm{0,95}$.

      $$\begin{array}{rcl}1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}=\mathrm{0,95}& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}=\mathrm{0,05}\\ & \iff & -\mathrm{0,0694}t=\ln \left(\mathrm{0,05}\right)\\ & \iff & t={\displaystyle \frac{\ln \left(20\right)}{\mathrm{0,0694}}}\end{array}$$

      L'équation $1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}=\mathrm{0,95}$ admet pour solution $t={\displaystyle \frac{\ln \left(20\right)}{\mathrm{0,0694}}}\approx \mathrm{43,17}$.

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   2. Interpréter ce résultat.

      Comme $P\left(X⩽t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\mathrm{0,0694}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}\times x}\mathrm{d}x}=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,0694}t}$, on en déduit que $P\left(X⩽\mathrm{43,17}\right)=\mathrm{0,95}$

      Selon ce modèle, Le risque d'un séisme majeur le long de la faille de San Andreas dans les 44 prochaines années est supérieur à 95 %.

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