Baccalauréat technologique 2018 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

correction de l'exercice 1

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
On note f(t) la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant t après sa mort (t exprimé en milliers d'années).

partie a

On admet que f est une solution sur [0;+[ de l'équation différentielle : y=-0,124y(E)

  1. Résoudre l'équation différentielle (E).

    L'équation différentielle y=-0,124y est de la forme y+ay=0 avec a=0,124. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies sur par tke-0,124t, où k est une constante réelle quelconque.

    Par conséquent, les solutions sur [0;+[ de l'équation différentielle (E) sont les fonctions définies pour tout réel t positif par f(t)=ke-0,124tk est une constante réelle quelconque.


  2. Déterminer la solution f de (E) vérifiant la condition initiale f(0)=15,3.

    f(0)=15,3 équivaut à ke0=15,3 soit k=15,3

    La solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale f(0)=15,3 est la fonction f définie sur [0;+[ par f(t)=15,3e-0,124t.


partie b

On admet que la fonction f est définie par f(t)=15,3e-0,124t sur [0;+[.

  1. Déterminer les variations de f sur [0;+[.

    La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur [0;+[ par :f(t)=15,3×(-0,124×e-0,124t)=-1,8972e-0,124t

    Comme pour tout réel t on a e-0,124t>0, on en déduit que sur l'intervalle [0;+[ : -1,8972e-0,124t<0.

    Sur [0;+[, f(t)<0 donc la fonction f est strictement décroissante.


  2. Déterminer la limite de f au voisinage de l'infini.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.

    limt+e-0,124t=0 donc limt+15,3e-0,124t=0.

    limt+f(t)=0. La concentration en carbone 14 présent dans un organisme sera proche de 0 à partir d'un certain nombre de milliers d'années après sa mort .


partie c

On rappelle que la fonction f donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de t (en milliers d'années).

  1. Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à 7,27 unités.
    Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à 6000 ans.

    15,3e-0,124t=7,27e-0,124t=7,2715,3-0,124t=ln(7,2715,3)t=-ln(7,2715,3)0,1246

    Ainsi, on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à 6 000 ans.


  2. Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à 0,3 % de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14.
    Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.

    15,3e-0,124t<15,3×0,003e-0,124t<0,003-0,124t<ln(0,003)t>-ln(0,003)0,12446,8

    Un organisme ne peut plus être daté au carbone 14 au bout 47 000 ans.



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