sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

correction de l'exercice 2

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

La société Héliocel fabrique des cellules photovoltaïques destinées à être assemblées pour former des panneaux solaires qui seront ensuite installés sur le toit d'habitations pour produire de l'électricité.

partie a

On estime que 5 % des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables.
On prélève au hasard un lot de 80 cellules dans la production pour vérification. Le nombre de cellules produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 80 cellules.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 80 cellules, associe le nombre de cellules inutilisables.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=80$ et $p=\mathrm{0,05}$.

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2. Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ?

   $$P\left(X=0\right)={\left(1-\mathrm{0,05}\right)}^{80}\approx \mathrm{0,017}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable est 0,017.

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3. Un panneau solaire est constitué de 75 cellules.
   Quelle est la probabilité d'avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ?

   Dans un lot de 80 cellules, il y a au moins 75 cellules sans défaut si le nombre de cellules défectueuses est inférieur ou égal à 4. À la calculatrice, on obtient :$$P\left(X⩽4\right)\approx \mathrm{0,629}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un lot contienne au moins 75 cellules sans défaut est 0,017.

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partie b

Après amélioration sur sa chaîne de fabrication, la société annonce une proportion de 3 % de cellules inutilisables.
Afin de vérifier cette annonce, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 180 cellules et observe que 9 cellules sont inutilisables.

Cette observation remet-elle en cause l'annonce de la société ?

• La fréquence observée des cellules inutilisables dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{9}{180\times 75}}=\mathrm{0,05}$.

• Comme $n⩾30$, $n\times p=180\times \mathrm{0,03}=\mathrm{5,4}$ et $n\times \left(1-p\right)=180\times \mathrm{0,97}=\mathrm{174,6}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
  L'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des cellules inutilisables dans un échantillon de taille 180 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,03}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{180}}};\mathrm{0,03}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,03}\times \mathrm{0,97}}{180}}}\right]\end{array}$$

  Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95 % de la fréquence des cellules inutilisables dans un échantillon de taille 180 est $I=\left[\mathrm{0,005};\mathrm{0,055}\right]$.

$\mathrm{0,05}\in \left[\mathrm{0,005};\mathrm{0,055}\right]$ donc l'hypothèse d'une proportion de 3 % de cellules inutilisables n'est pas remise en cause.

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partie c

Une famille décide d'installer 15 de ces panneaux solaires sur le toit de sa maison pour produire de l'électricité.
La production électrique dépend de l'ensoleillement.
On appelle Y la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique (en kWh) fournie par ces 15 panneaux.
On admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance $\mu =9$ et d'écart-type $\sigma =3$.

1. Quelle est la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh ?

   D'après le cours, si la variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance μ et d'écart-type σ alors $P\left(\mu -\sigma ⩽Y⩽\mu +\sigma \right)\approx \mathrm{0,683}$ d'où $P\left(6⩽Y⩽12\right)\approx \mathrm{0,683}$.

   Arrondie au millième près, la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh est 0,683.

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2. Parmi les trois fonctions de densité de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être celle de la loi de Y ? Justifier.

   • Méthode 1 :

     Soit f la fonction densité de probabilité de la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance $\mu =9$ et d'écart-type $\sigma =3$ à l'aide de la calculatrice, on trouve $f\left(9\right)\approx \mathrm{0,133}$ donc la courbe $C_2$ est la seule des trois courbes qui convient.

   • Méthode 2 :

     • La courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance $\mu =9$ et d'écart-type $\sigma =3$ admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x=9$ donc la courbe $C_3$ ne convient pas.
     • L'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=6$ et $x=12$ est égale à 0,683. Donc la courbe $C_1$ ne convient pas.

   La courbe $C_2$ est la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y.

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3. La consommation moyenne de cette famille est 13 kWh/jour.
   Quelle est la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne ?

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(Y>13\right)& =& P\left(Y⩾9\right)-P\left(9<Y⩽13\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(6<Y⩽13\right)\approx \mathrm{0,091}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qque la production journalière de l'installation soit supérieure à la consommation moyenne quotidienne est 0,091.

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