Baccalauréat technologique 2018 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

correction de l'exercice 4

Une commune de 2 000 habitants au 1^er janvier 2018 voit sa population augmenter de 5 % tous les ans.
Pour tout entier naturel n, on note $h_{n}$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_{0} = 2000$ .
La suite $(h_{n})$ est une suite géométrique. Exprimer $h_{n}$ en fonction de n.
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % est : $1 + \frac{5}{100} = 1,05$ .
La population augmente de 5 % tous les ans d'où pour tout entier naturel n on a : $h_{n + 1} = 1,05 \times h_{n}$ . Ainsi, $(h_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,05.
$(h_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme $h_{0} = 2000$ donc pour tout entier naturel n on a : $h_{n} = 2000 \times {1,05}^{n}$ .

La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de 16 000 Mbit/s au 1^er janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9 % par an.
Pour tout entier naturel n, on note $d_{n}$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$ .
On modélise ainsi le débit par la suite $(d_{n})$ . On a alors $d_{n} = 16000 \times {1,029}^{n}$ .

On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle.
Pour tout entier naturel n on note $u_{n}$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$ et on admet que $u_{n} = \frac{d_{n}}{h_{n}}$ .
1. Calculer $u_{0}$ et $u_{1}$ .
  $\begin{aligned} u_{0} = \frac{d_{0}}{h_{0}} & soit & u_{0} = \frac{16000}{2000} = 8 \\ et & u_{1} = \frac{d_{1}}{h_{1}} & soit & u_{1} = \frac{16000 \times 1,029}{2000 \times 1,05} = 7,84 \end{aligned}$
  Ainsi, $u_{0} = 8$ et $u_{1} = 7,84$ .
2. Montrer pour tout entier naturel n on a $u_{n} = 8 \times {0,98}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n on a : $\begin{matrix} u_{n} = \frac{d_{n}}{h_{n}} & soit & u_{n} = \frac{16000 \times {1,029}^{n}}{2000 \times {1,05}^{n}} = 8 \times {(\frac{1,029}{1,05})}^{n} = 8 \times {0,98}^{n} \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n on a $u_{n} = 8 \times {0,98}^{n}$ .
3. En déduire la nature de la suite $(u_{n})$ et ses caractéristiques.
  Pour tout entier naturel n on a $u_{n} = 8 \times {0,98}^{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $q = 0,98$ et de premier terme $u_{0} = 8$ .
4. Déterminer la limite de la $(u_{n})$ . Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
  $0 < 0,98 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,98}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 8 \times {0,98}^{n} = 0$ .
  $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ donc à partir d'un certain nombre d'années, le débit sera proche de 0 Mbit/s par habitant.
Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau.
1. On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant.
  $U \leftarrow 8$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que $U ⩾ 5$
  $U \leftarrow 0,98 \times U$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie ?
  - Méthode 1 :
    On exécute l'algorithme à la calculatrice, la valeur de la variable N obtenue est $N = 24$ .
  - Méthode 2 :
    On cherche le plus petit entier naturel n solution de l'inéquation $8 \times {0,98}^{n} < 5$ : $\begin{array}{rcll} 8 \times {0,98}^{n} < 5 & \Leftrightarrow & {0,98}^{n} < \frac{5}{8} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,98}^{n}) < \ln 0,625 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,98 < \ln 0,625 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,625}{\ln 0,98} & \ln 0,98 < 0 \end{array}$
    Or $\frac{\ln 0,625}{\ln 0,98} \approx 23,3$ donc le plus petit entier naturel n solution de l'inéquation $8 \times {0,98}^{n} < 5$ est $n = 24$ .
  Selon ce modèle, c'est en 2042 que le fournisseur d'accès sera dans l'obligation de changer sa technologie.

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