sujet : Polynésie session septembre 2018

correction de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse proposée est exacte. Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.

1. Le nombre complexe solution de l'équation $3\mathrm{i}z+1=\mathrm{i}$ est :

   $$\begin{array}{rcl}3\mathrm{i}z+1=\mathrm{i}& \iff & 3\mathrm{i}z=\mathrm{i}-1\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{\mathrm{i}-1}{3\mathrm{i}}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{-\mathrm{i}\left(\mathrm{i}-1\right)}{3}}\\ & \iff & z={\displaystyle \frac{1+\mathrm{i}}{3}}\end{array}$$

   a.   $z={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{i}}{3}}$

   b.   $z=-1-2\mathrm{i}$

   c.   $z=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

   d.   $z={\displaystyle \frac{-1-\mathrm{i}}{3}}$

2. On considère les deux nombres complexes $z=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}$ et $z\text{'}=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}$.

   Sur le graphique ci-dessus, le nombre $z+z\text{'}$ est représenté par le point :

   $$\begin{array}{rcl}z+z\text{'}& =& 4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{\pi }{6}}+\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\frac{3\pi }{4}}\\ & =& 4\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+4\mathrm{i}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)+\sqrt{2}\cos \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)+\mathrm{i}\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\\ & =& 2\sqrt{3}+2\mathrm{i}-1+\mathrm{i}\\ & =& 2\sqrt{3}-1+3\mathrm{i}\end{array}$$

   Avec la précision permise par le graphique, la réponse b est la seule susceptible de convenir.

   a.   A

   b.   B

   c.   C

   d.   D

3. On considère la fonction f définie sur $I=\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}$. Une primitive de f sur I est la fonction F définie par :

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ posons $u\left(x\right)=2x+1$ d'où $u\prime \left(x\right)=2$.

   Ainsi, sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$ par conséquent, une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=\ln \left(u\left(x\right)\right)$ soit $F\left(x\right)=\ln \left(2x+1\right)$.

   a.   $F\left(x\right)=2\ln \left(2x+1\right)$

   b.   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{-4}{{\left(2x+1\right)}^2}}$

   c.   $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+x}}$

   d.   $F\left(x\right)=\ln \left(2x+1\right)$

4. Le graphique ci-dessous donne, dans un repère orthogonal, la représentation graphique des fonctions f et g définies sur l'ensemble des réels par :$$f\left(x\right)=x^2-3x\text{et}g\left(x\right)=3-x$$

   On souhaite connaître l'aire du domaine grisé. Cette aire, en unité d'aire, est égale à :

   Sur l'intervalle $\left[-1;3\right]$ la parabole est située en dessous de la droite donc sur cet intervalle, on a $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

   Par conséquent, l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la droite, la parabole et les droites d'équation $x=-1$ est $x=3$ est égale à ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}g\left(x\right)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$.

   a.   ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{d}x$

   b.   ${\displaystyle {\int }_0^3}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]\mathrm{d}x$

   c.   ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}\left[-x^2-4x+3\right]\mathrm{d}x$

   d.   ${\displaystyle {\int }_{-1}^3}g\left(x\right)\mathrm{d}x-{\displaystyle {\int }_{-1}^3}f\left(x\right)\mathrm{d}x$

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