sujet : Polynésie session septembre 2018

correction de l'exercice 4

partie a

On considère la fonction ω définie pour tout réel positif t par : $$\omega \left(t\right)=4{\mathrm{e}}^{-200t}+146$$ On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction ω dans un repère orthonormé.

1. 1. Calculer $\omega \left(0\right)$.

      $\omega \left(0\right)=150$.

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   2. Déterminer la limite de la fonction ω lorsque t tend vers $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }-200t=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^X=0$ d'où $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-200t}=0$ donc $\underset{t\to +\infty }{\lim }4{\mathrm{e}}^{-200t}+146=146$.

      $\underset{t\to +\infty }{\lim }\omega \left(t\right)=146$ par conséquent, la courbe 𝒞 admet pour asymptote la droite d'équation $y=146$ en $+\infty$.

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2. On note $\omega \prime$ la fonction dérivée de la fonction ω sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

   1. Pour tout réel positif t, calculer $\omega \prime \left(t\right)$.

      Pour tout réel positif t, $$\omega \prime \left(t\right)=4\times \left(-200\right)\times {\mathrm{e}}^{-200t}=-800{\mathrm{e}}^{-200t}$$

      $\omega \prime$ est la fonction définie pour tout réel t de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ par $\omega \prime \left(t\right)=-800{\mathrm{e}}^{-200t}$.

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   2. Étudier le signe de $\omega \prime$ sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel t, ${\mathrm{e}}^{-200t}>0$ d'où sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $-800{\mathrm{e}}^{-200t}<0$

      Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, $\omega \prime \left(t\right)<0$.

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   3. Dresser le tableau de variation de la fonction ω sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction ω se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	0		$+\infty$
      $\omega \prime \left(t\right)$		−
      $\omega \left(t\right)$	150		146

   4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0.

      Une équation de la tangente à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 0 est : $$y=\omega \prime \left(0\right)\times t+\omega \left(0\right)$$

      Or $\omega \prime \left(0\right)=-800$ et $\omega \left(0\right)=150$.

      La tangente à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-800t+150$.

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partie b

On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de $150\mathrm{rad}.{\mathrm{s}}^{-1}$.
On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en $\mathrm{rad}.{\mathrm{s}}^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle (E) :$${\displaystyle \frac{1}{200}}y\prime +y=146$$ où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t positive et exprimée en seconde.

1. 1. Résoudre cette équation différentielle.

      L'équation différentielle $\left(E\right):{\displaystyle \frac{1}{200}}y\prime +y=146$ est équivalente à l'équation différentielle $$y\prime +200y=29200$$Les solutions de l'équation différentielle $y\prime +ay=b$ sont les fonctions définies sur $ℝ$ par $t⟼k{\mathrm{e}}^{-at}+{\displaystyle \frac{b}{a}}$, où k est une constante réelle quelconque.

      Par conséquent, les solutions sur $\left[0;+\infty \right[$ de l'équation différentielle (E) sont les fonctions définies pour tout réel t positif par $f\left(t\right)=k{\mathrm{e}}^{-200t}+146$ où k est une constante réelle quelconque.

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   2. Vérifier que la fonction ω étudiée dans la partie A est la fonction solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $\omega \left(0\right)=150$.

      La condition $\omega \left(0\right)=150$ équivaut à $k{\mathrm{e}}^0=146$ d'où $k=4$

      Ainsi, la fonction ω définie sur $\left[0;+\infty \right[$ par $\omega \left(t\right)=4{\mathrm{e}}^{-200t}+146$ est la fonction solution de l'équation différentielle (E) vérifiant la condition initiale $\omega \left(0\right)=150$.

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2. Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $\omega \left(t\right)$ lorsque t tend vers $+\infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction ω, déterminés dans la partie A.

   Pendant la phase d'embrayage, la vitesse de rotation du moteur va diminuer et se stabiliser vers $146\mathrm{rad}.{\mathrm{s}}^{-1}$.

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3. On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en $\mathrm{rad}.{\mathrm{s}}^{-1}$, est stabilisée lorsque la quantité ${\displaystyle \frac{\omega \left(t\right)-146}{146}}$ est inférieure à 0,01.
   Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.

   $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{\omega \left(t\right)-146}{146}}<\mathrm{0,01}& \iff & 4{\mathrm{e}}^{-200t}<\mathrm{1,46}\\ & \iff & {\mathrm{e}}^{-200t}<\mathrm{0,365}\\ & \iff & -200t<\ln \left(\mathrm{0,365}\right)\\ & \iff & t>-{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,365}\right)}{200}}\end{array}$$

   Le temps, en secondes, mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse est $t=-{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,365}\right)}{200}}$ soit avec une valeur approchée au millième de seconde par excès, $t\approx \mathrm{0,006}$.

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