Baccalauréat technologique 2018 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie session septembre 2018

correction de l'exercice 3

La consommation de soins et de biens médicaux (CSBM) en France comprend les soins hospitaliers, les soins ambulatoires (médecins, dentistes, auxiliaires médicaux, laboratoires d'analyse, thermalisme), les transports sanitaires, les médicaments et les autres biens médicaux (optique, prothèses, petit matériel et pansements).

partie a

En 2008, la CSBM s'élevait à 164,7 milliards d'euros. Afin de mieux maîtriser les dépenses de santé, le Gouvernement souhaitait que les dépenses liées à la CSBM n'augmentent que de 2 % par année.
On modélise l'évolution souhaitée par le Gouvernement par une suite $(u_{n})$ où $u_{n}$ désigne le montant, en milliards d'euros, des dépenses pour l'année $(2008 + n)$ .
On a donc $u_{0} = 164,7$ .

Déterminer la nature de la suite $(u_{n})$ .
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation des dépenses 2 % est : $1 + \frac{2}{100} = 1,02$
Pour tout entier naturel n on a $u_{n + 1} = 1,02 \times u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,02.
Pour tout entier naturel n, exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $u_{0} = 164,7$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 164,7 \times {1,02}^{n}$ .
Calculer $u_{7}$ . On donnera la valeur arrondie au dixième.
$u_{7} = 164,7 \times {1,02}^{7} \approx 189,2$ .
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Avec une augmentation annuelle de 2 % des dépenses liées à la CSBM, en 2015 la CSBM s'éleverait à 189,2 milliards d'euros.

partie b

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la CSBM réelle en milliards d'euros depuis l'année 2008 en France.

Dans cette partie, on ne demande pas de compléter le tableau.

Consommation de soins et de biens médicaux à partir de 2008

Source : Drees, comptes de la santé (édition 2016)
	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	Année	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
2	CSBM en milliards d'euros	164,7	169,8	173,5	178,7	182,6	186,1	191,2	194,0
3	Évolution en pourcentage

1. Calculer le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 arrondi à 0,01 %.
  Soit t % le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 : $t = \frac{194,0 - 164,7}{164,7} \times 100 \approx 17,79$
  De 2008 à 2015, la CSBM a augmenté de 17,79 %.
2. Les cellules C3 à I3 sont au format pourcentage. Proposer une formule à entrer en C3 qui, recopiée vers la droite jusqu'en I3, permet de déterminer le taux d'évolution en pourcentage des dépenses entre deux années consécutives.
  Les cellules C3 à I3 étant au format pourcentage, la formule à entrer en C3 est « =C2/B2-1 » ou bien « =(C2-B2)/B2 ».
À partir de 2015, on suppose que la CSBM augmentera de 2,4 % par année.
On veut déterminer, à l'aide de l'algorithme ci-dessous, l'année à partir de laquelle la CSBM dépassera 300 milliards d'euros.
1. Recopier et compléter l'algorithme.
  $N \leftarrow 0$
  $V \leftarrow 194$
  Tant que $V ⩽ 300$
  $N \leftarrow N + 1$
  $V \leftarrow 1,024 \times V$
  Fin Tant que
2. Quelle est la valeur de la variable N après exécution de l'algorithme ?
  On peut éxecuter l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la valeur de la variable N ou bien justifier le résultat par le calcul.
  Soit $(v_{n})$ la suite géométrique définie pour tout entier naturel n par $v_{n + 1} = 1,024 \times v_{n}$ et $v_{0} = 194$ . On a donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = 194 \times {1,024}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 194 \times {1,024}^{n} > 300 & \Leftrightarrow & {1,024}^{n} > \frac{300}{194} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,024}^{n}) > \ln (\frac{150}{97}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (1,024) > \ln (\frac{150}{97}) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln (\frac{150}{97})}{\ln (1,024)} \end{array}$
  Or $\frac{\ln (\frac{150}{97})}{\ln (1,024)} \approx 18,4$ donc le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation $194 \times {1,024}^{n} > 300$ est $n = 19$ .
  La valeur de la variable N après exécution de l'algorithme est $N = 19$ .
3. En quelle année la CSBM dépassera-t-elle les 300 milliards d'euros ?
  Avec une augmentation de 2,4 % par année, la CSBM dépassera les 300 milliards d'euros en 2033.

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