sujet : Pondichery

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

partie 1

Sachant qu'il y avait 13 millions de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage d'augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 % près.

Le taux du pourcentage d'évolution du nombre de cotisants entre 1975 et 2005 est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{16,6}-13}{13}}\times 100\approx \mathrm{27,69}$$

Entre 1975 et 2005, le nombre de cotisants au régime général de retraites en France métropolitaine a augmenté de 27,7%.

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partie 2

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1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points $M_i\left(x_i;y_i\right)$, $0⩽i⩽6$, associé à la série statistique dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm en abscisse (pour les rangs d'année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).

2. 1. Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.

      Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_G={\displaystyle \frac{0+1+23+4+5+6}{7}}=3& \text{et}& y_G={\displaystyle \frac{\mathrm{4,1}+5+\mathrm{5,9}+\mathrm{7,4}+\mathrm{8,3}+\mathrm{9,7}+\mathrm{10,7}}{7}}=\mathrm{7,3}\end{array}$$

      Les coordonnées du point moyen G de cette série statistique sont $\mathrm{G}\left(3;\mathrm{7,3}\right)$.

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   2. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).

      Une équation de la droite d d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice, est $y=\mathrm{1,1}x+\mathrm{3,9}$ (coefficients arrondis au dixième)

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   3. Placer le point G et tracer la droite d dans le repère construit à la première question.

      Remarque :

      La droite d d'ajustement a été tracée avec des coefficients arrondis au centième ( équation $y=\mathrm{1,13}x+\mathrm{3,91}$ ). En effet, avec les coefficients arrondis au dixième, le point moyen G n'est pas sur la droite.

3. En utilisant l'ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du nombre de retraités en 2010.

   Le rang de l'année 2010 est 7. D'où une estimation du nombre de retraités : $$\mathrm{1,1}\times 7+\mathrm{3,9}=\mathrm{11,6}$$

   Avec cet ajustement, on estime qu'il y aura 11,6 millions de retraités en 2010.

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partie 3

On utilisera les données des parties 1 et 2. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous forme de pourcentage, arrondis au dixième.

On appelle rapport démographique de l'année n le rapport $${\mathrm{R}}_n={\displaystyle \frac{\text{nombre de cotisants de l'année }n}{\text{nombre de retraités de l'année }n}}$$

1. Calculer le taux d'évolution de ${\mathrm{R}}_n$ entre 1975 et 2005.

   Les rapports démographiques des années 1975 et 2005 sont : $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{R}}_{1975}={\displaystyle \frac{13}{\mathrm{4,1}}}& \text{et}& {\mathrm{R}}_{2005}={\displaystyle \frac{\mathrm{16,6}}{\mathrm{10,7}}}\end{array}$$

   Le taux du pourcentage d'évolution du rapport démographique entre 1975 et 2005 est : $${\displaystyle \frac{{\mathrm{R}}_{2005}-{\mathrm{R}}_{1975}}{{\mathrm{R}}_{1975}}}\times 100={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{16,6}}{\mathrm{10,7}}}-{\displaystyle \frac{13}{\mathrm{4,1}}}}{{\displaystyle \frac{13}{\mathrm{4,1}}}}}\times 100\approx -\mathrm{51,07}$$

   Le taux d'évolution du rapport démographique entre 1975 et 2005 est égal à − 51,1%.

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2. Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4 % et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1 %. Calculer le taux d'évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010.
   Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

   Le nombre de cotisants devrait augmenter de 6,4 % alors, en 2010 le nombre de cotisants sera de $$\mathrm{16,6}\times \mathrm{1,064}$$
   Le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1 % alors, en 2010 le nombre de cotisants sera de $$\mathrm{10,7}\times \mathrm{1,121}$$
   Le rapport démographique en 2010 sera : $${\mathrm{R}}_{2010}={\displaystyle \frac{\mathrm{16,6}\times \mathrm{1,064}}{\mathrm{10,7}\times \mathrm{1,121}}}={\mathrm{R}}_{2005}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{1,064}}{\mathrm{1,121}}}$$

   Le coefficient multiplicateur associé au taux d'évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010 est donc : ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,064}}{\mathrm{1,121}}}\approx \mathrm{0,949}$ . Ce qui correspond à une baisse d'environ 5,1 %.

   Le taux d'évolution du rapport démographique entre 2005 et 2010 est égal à − 5,1%.

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