sujet : Pondichery

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a : Lectures graphiques

La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur $\left]0;+\infty \right[$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f.
La courbe C passe par les points $A\left(\mathrm{e};0\right)$ et $B\left(1;-1\right)$.
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point $D\left(0;-\mathrm{e}\right)$.

1. Déterminer une équation de la droite (AD).

   Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.

2. Par lectures graphiques :

   1. Déterminer $f\left(1\right)$ et $f\prime \left(1\right)$.

   2. Dresser le tableau de signes de f sur $\left]0;5\right]$.

   3. Dresser le tableau de signes de $f\prime$ sur $\left]0;5\right]$.

   4. Soit F une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$. Déterminer les variations de F sur $\left]0;5\right]$ .

   5. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation $x=4$ et $x=5$.

partie b : Étude de la fonction

La courbe C de la partie A est la représentation graphique de la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x\left(\ln x-1\right)$.

1. 1. Déterminer la limite de f en $+\infty$.

   2. Soit h la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $h\left(x\right)=x\ln x$. On rappelle que $\underset{x\to 0}{\lim }h\left(x\right)=0$.
      Déterminer la limite de f en 0.

2. 1. Montrer que, pour tout x de $\left]0;+\infty \right[$, on a :$f\prime \left(x\right)=\ln x$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur $\left]0;+\infty \right[$ et en déduire le tableau de variations de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

3. 1. Démontrer que la fonction H définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $H\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\ln x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$ est une primitive sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction h définie à la question 1. b.

      Dire que H est une primitive sur $\left]0;+\infty \right[$ de la fonction h signifie que pour tout réel x strictement positif, $H\prime \left(x\right)=h\left(x\right)$.

   2. En déduire une primitive F de f et calculer ${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   3. En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=\mathrm{e}$. On arrondira le résultat au dixième.

      Sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ la fonction f est négative par conséquent, cette question est hors programme en terminale ES.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.