Baccalauréat 2009 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Pondichery

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

partie a : Lectures graphiques

La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur ]0;+[. On note f la fonction dérivée de f.
La courbe C passe par les points A(e;0) et B(1;-1).
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point D(0;-e).

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Déterminer une équation de la droite (AD).

    La droite (AD) coupe l'axe des ordonnées au point D(0;-e) , son équation est de la forme y=ax-e avec a=yD-yAxD-xA.
    D'où a=-e-00-e=1

    La droite (AD) a pour équation y=x-e


    Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.

  2. Par lectures graphiques :

    1. Déterminer f(1) et f(1).

      • La courbe C passe par le point B(1;-1) donc f(1)=-1


      • La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 donc f(1)=0


    2. Dresser le tableau de signes de f sur ]0;5].

      le tableau de signes de f se déduit des positions relatives de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

      x0  e 5
      f(x)  0||+ 

    3. Dresser le tableau de signes de f sur ]0;5].

      f est décroissante sur l'intervalle ]0;1] et croissante sur [1;5] . D'où le tableau de signes de f sur ]0;5]

      x0  1 5
      f(x)  0||+ 

    4. Soit F une primitive de f sur ]0;+[. Déterminer les variations de F sur ]0;5] .

      Dire que F est une primitive de f sur ]0;+[ signifie que pour tout réel x strictement positif, F(x)=f(x) . Les variations de F se déduisent du signe de f

      x0  e 5
      f(x)  0||+ 
      F(x) fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    5. Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x=4 et x=5.

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation x=4 et x=5 est comprise entre l'aire du trapèze mnpq et l'aire du trapèze mnp'q'.

      𝒜mnpq=(mq+np)×mn2=2et𝒜mnpq=(mq+np)×mn2=3

      Ainsi, 2<45f(x)dx<3


partie b : Étude de la fonction

La courbe C de la partie A est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=x(lnx-1).

    1. Déterminer la limite de f en +.

      limx+ln(x)-1=+ ; donc par produit, limx+x(lnx-1)=+

      Ainsi, limx+f(x)=+


    2. Soit h la fonction définie sur ]0;+[ par h(x)=xlnx. On rappelle que limx0h(x)=0.
      Déterminer la limite de f en 0.

      Pour tout réel x strictement positif, x(lnx-1)=xlnx-x

      Or limx0xlnx=0 et limx0-x=0 ; donc par somme, limx0xlnx-x=0

      Ainsi, limx0f(x)=0


    1. Montrer que, pour tout x de ]0;+[, on a : f(x)=lnx.

      Pour tout réel x strictement positif, posons u(x)=xd'oùu(x)=1v(x)=lnx-1d'oùv(x)=1x

      Alors, f=uv d'où f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et f=uv+uv

      Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=lnx-1+x×1x=lnx

      f est la fonction définie sur ]0;+[ par f(x)=lnx.


    2. Étudier le signe de f(x) sur ]0;+[ et en déduire le tableau de variations de f sur ]0;+[.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x0  1 +
      f(x)=lnx  0||+ 
      f(x) 

      0

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      − 1

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      +


      Calcul du minimum : f(1)=1×(ln1-1)=-1


    1. Démontrer que la fonction H définie sur ]0;+[ par H(x)=12x2lnx-14x2 est une primitive sur ]0;+[ de la fonction h définie à la question 1. b.

      Pour tout réel x strictement positif, 12x2lnx-14x2=12x2(lnx-12)

      Pour tout réel x strictement positif, posons u(x)=12x2d'oùu(x)=xv(x)=lnx-12d'oùv(x)=1x

      Alors, H=uv d'où H est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et H=uv+uv

      Soit pour tout réel x strictement positif, H(x)=x(lnx-12)+12x2×1x=xlnx

      Ainsi, pour tout réel x strictement positif, H(x)=h(x) donc H est une primitive sur ]0;+[ de la fonction h


    2. En déduire une primitive F de f et calculer 1ef(x)dx.

      D'après la question 1.b. pour tout réel x strictement positif, f(x)=h(x)-x.
      Par conséquent, une primitive une primitive F de f est la fonction définie sur ]0;+[ par F(x)=H(x)-12x2. Soit F(x)=12x2lnx-14x2-12x2=12x2(lnx-32)

      D'où 1ef(x)dx=[12x2(lnx-32)]1e=12e2×(lne-32)-12×(ln1-32)=-e24+34

      1ef(x)dx=3-e24


    3. En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e. On arrondira le résultat au dixième.

      Sur l'intervalle [1;e] la fonction f est dérivable donc continue et négative. L'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e est donc 𝒜=-1ef(x)dx=e2-341,1

      L'arrondi au dixième de l'aire de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e est égal à 1,1 unités d'aire.


    Remarque :

    Cette question est hors programme en Terminale ES.



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