Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
La courbe C ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur . On note la fonction dérivée de f.
La courbe C passe par les points et .
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la tangente au point d'abscisse e passe par le point .
Déterminer une équation de la droite (AD).
La droite (AD) coupe l'axe des ordonnées au point , son équation est de la forme avec .
D'où
La droite (AD) a pour équation
Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.
Par lectures graphiques :
Déterminer et .
La courbe C passe par le point donc
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 donc
Dresser le tableau de signes de f sur .
le tableau de signes de f se déduit des positions relatives de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.
x | 0 | e | 5 | |||
− | + |
Dresser le tableau de signes de sur .
f est décroissante sur l'intervalle et croissante sur . D'où le tableau de signes de sur
x | 0 | 1 | 5 | |||
− | + |
Soit F une primitive de f sur . Déterminer les variations de F sur .
Dire que F est une primitive de f sur signifie que pour tout réel x strictement positif, . Les variations de F se déduisent du signe de f
x | 0 | e | 5 | |||
− | + | |||||
Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation et .
L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'équation et est comprise entre l'aire du trapèze mnpq et l'aire du trapèze mnp'q'.
Ainsi,
La courbe C de la partie A est la représentation graphique de la fonction f définie sur par .
Déterminer la limite de f en .
; donc par produit,
Ainsi,
Soit h la fonction définie sur par . On rappelle que .
Déterminer la limite de f en 0.
Pour tout réel x strictement positif,
Or et ; donc par somme,
Ainsi,
Montrer que, pour tout x de , on a : .
Pour tout réel x strictement positif, posons
Alors, d'où f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et
Soit pour tout réel x strictement positif,
est la fonction définie sur par .
Étudier le signe de sur et en déduire le tableau de variations de f sur .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 0 | 1 | ||||
− | + | |||||
0 | − 1 |
Calcul du minimum :
Démontrer que la fonction H définie sur par est une primitive sur de la fonction h définie à la question 1. b.
Pour tout réel x strictement positif,
Pour tout réel x strictement positif, posons
Alors, d'où H est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et
Soit pour tout réel x strictement positif,
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, donc H est une primitive sur de la fonction h
En déduire une primitive F de f et calculer .
D'après la question 1.b. pour tout réel x strictement positif, .
Par conséquent, une primitive une primitive F de f est la fonction définie sur par . Soit
D'où
En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation et . On arrondira le résultat au dixième.
Sur l'intervalle la fonction f est dérivable donc continue et négative. L'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation et est donc
L'arrondi au dixième de l'aire de la partie du plan délimitée par C, l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égal à 1,1 unités d'aire.
Remarque :
Cette question est hors programme en Terminale ES.
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