Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2019

Exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

  1. Soit f la fonction définie sur par f(x)=-0,9x3+1,5x2+1,5 et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d'intersection entre la courbe 𝒞 et la droite d'équation y=2 est :

    a.   0

    b.   1

    c.   2

    d.   3

  2. Une des solutions de l'inéquation 1-0,85n>0,99 d'inconnue n entier naturel est :

    a.   28

    b.   29

    c.   ln0,85ln0,01

    d.   28,336

  3. Esteban va à l'école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de 0,2. Dans l'année le nombre de jours d'école est de 162.
    On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres.
    La probabilité qu'il oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ :

    a.   0,19

    b.   0,07

    c.   0,60

    d.   0,36

  4. Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,001 au niveau de confiance 0,95 de cette proportion, la taille de l'échantillon doit être égale à :

    a.   4 000 000

    b.   1 000

    c.   2 000

    d.   100 0000


Exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

partie a

La responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action particulière la population d'une espèce de poisson augmente de 20 % par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année.
La situation est modélisée par une suite (un) de terme initial u0=150, le terme un donnant une estimation du nombre de poissons au 1er janvier de l'année (2018+n).

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Justifier que, pour tout n, un+1=1,2×un-28.

  3. On définit la suite (wn) par : wn=un-140 pour tout n.

    1. Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 1,2.
      Préciser son terme initial.

    2. Exprimer pour tout n, wn en fonction de n.
      En déduire un en fonction de n.

  4. Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons, la responsable doit-elle prévoir l'achat d'un autre aquarium dans les années à venir ? Si oui, en quelle année ?

partie b

On sait qu'il y a eu 1 350 visiteurs le premier mois et que le prix d'entrée est fixé à 8 euros. La responsable fait l'hypothèse d'une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de 12 %. Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

  1. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine la recette cherchée.

    S0
    V1350

    Pour N allant de 1 à ⋯
    S
    V1,2V
    Fin Pour

    S8S

  2. Quel est le montant de la recette cherchée ?


Exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

partie a

Sur son lieu de vacances d'été, Inaé décide de pratiquer son activité favorite: le vélo tout terrain (VTT). Le plan des sentiers VTT de la région est représenté par le graphe ci-dessous.
Les arêtes représentent les sentiers, les sommets représentent les intersections de ces sentiers et le poids des arêtes désigne la distance en km entre chaque intersection.

Graphe : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Pourra-t-elle explorer tous les sentiers en ne passant qu'une fois sur chacun d'entre eux ? Justifier.

  2. Inaé se trouve en A et a rendez-vous au point I. Elle veut s'y rendre en empruntant l'itinéraire le plus court. Déterminer à l'aide d'un algorithme cet itinéraire en en préciser la longueur.

partie b

En 2018, des vélos électriques ont été mis en location. Les clients ont donc eu le choix entre des vélos classiques et des vélos électriques. En 2018, seulement 10 % des clients ont loué des vélos électriques.

On admet que tous les clients louent un vélo et que :

On suppose que le nombre de clients chaque été reste constant. On s'intéresse à la répartition des clients dans les années à venir.

On note pour tout entier naturel n :

  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
    On notera C l'évènement « le client loue un vélo classique » et E l'évènement « le client loue un vélo électrique ».

  2. Donner la matrice P0 traduisant l'état probabiliste initial ainsi que la matrice de transition M en respectant l'ordre C puis E des sommets.

  3. Calculer P1.

  4. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.


Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis au centième.

partie a

Lors d'un safari photo en Afrique, un groupe de touristes souhaite observer des familles d'éléphants. Le guide leur explique que :

On choisit au hasard un touriste de ce groupe et on considère les évènements suivants :

Pour tous évènements E et F, on note E¯ l'évènement contraire de E, p(E) la probabilité de E et, si F est de probabilité non nulle, PF(E) la probabilité de E sachant F.

  1. Donner p(A¯B).

  2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

  3. Montrer que p(B)=0,44.

    1. Calculer pA¯(B).

    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

partie b

À 20 h, le groupe de touristes fait une pause autour d'un point d'eau pour observer le bain des éléphants. On considère que le temps d'attente en minute nécessaire pour observer des éléphants suit la loi uniforme sur l'intervalle [0;90].

  1. Quelle est la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants ?

  2. Calculer l'heure moyenne d'arrivée des éléphants.

partie c

Lors de leur séjour, les touristes ont appris que les éléphants d'Afrique sont généralement plus grands que les éléphants d'Asie.
On modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Afrique par une variable aléatoire X suivant la loi normale de moyenne μ et d'écart type σ. De même, on modélise la taille en centimètre d'un éléphant d'Asie par une variable aléatoire Y suivant une loi normale de moyenne μ et d'écart type σ.
Les courbes 𝒞1 et 𝒞2 des densités de probabilité associées à X et Y sont données en annexe 1.

    1. Associer chaque courbe 𝒞1 et 𝒞2 à sa variable aléatoire.

    2. Donner une valeur approchée à la dizaine de l'espérance pour chacune d'entre elles.

  1. Représenter graphiquement p(X>330) et p(Y>330) puis comparer ces deux probabilités.

    1. Calculer à l'aide de la calculatrice p(Y>330) sachant que μ=268 et σ=50.

    2. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

annexe 1

Densité de probabilité : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur par : f(x)=(-5x2+5)ex.
On note f la fonction dérivée de f, et f la fonction dérivée seconde.
On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan, donnée en annexe 2.

    1. Calculer les coordonnées du point A, intersection de la courbe 𝒞 avec l'axe des ordonnées. Placer le point A dans le repère fourni en annexe 2.

    2. Démontrer que 𝒞 coupe l'axe des abscisses en deux points. Déterminer leurs coordonnées et les placer dans le repère fourni en annexe 2.

    3. Montrer que pour tout x, f(x)=(-5x2-10x+5)ex.

    4. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [-5;2].

  1. Soit Δ la tangente à 𝒞 au point d'abscisse 0.

    1. Montrer qu'une équation de Δ est y=5x+5.

    2. Tracer la droite Δ dans le repère fourni en annexe 2.

  2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants que l'on pourra utiliser sans justification :

    1f(x)
    (-5x2+5)ex
    2f(x)
    -20xex-5x2ex-5ex
    3Résoudre (f(x)=0x)
    {x=-3-2,x=3-2}
    1. Montrer que, pour tout x[-5;2], f(x)=-(5x2+20x+5)ex.

    2. Étudier la convexité de le fonction f sur l'intervalle [-5;2].

  3. On s'intéresse à l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine délimité par 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-1 et x=0.

    1. Hachurer sur l'annexe 2 ce domaine.

    2. On admet que sur l'intervalle [-1;0], la droite Δ est au-dessus de la courbe 𝒞.
      Justifier que l'aire 𝒜 est inférieure à 2,5 unités d'aire.

    3. On admet que la fonction F définie sur par F(x)=(-5x2+10x-5)ex est une primitive de f.
      Calculer -10f(x)dx. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.

annexe 2

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


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