Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2019

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.

partie a

La responsable d'un aquarium public constate qu'en l'absence d'action particulière la population d'une espèce de poisson augmente de 20 % par an.
Pour démarrer un nouveau bassin, elle décide de prélever 28 poissons à la fin de chaque année.
La situation est modélisée par une suite $(u_{n})$ de terme initial $u_{0} = 150$ , le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre de poissons au 1^er janvier de l'année $(2018 + n)$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 150 \times (1 + \frac{20}{100}) - 28 = 152 \\ u_{2} = 152 \times 1,2 - 28 = 154,4 \end{array}$ .
$u_{1} = 152$ et $u_{2} \approx 154$ .
Justifier que, pour tout $n \in ℕ$ , $u_{n + 1} = 1,2 \times u_{n} - 28$ .
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 20 % est : $1 + \frac{20}{100} = 1,2$ Soit $u_{n}$ le nombre de poissons au 1^er janvier de l'année $(2018 + n)$ . Le nombre de poissons au 1^er janvier de l'année suivante suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :
$u_{n} \overset{\times 1,2 ( augmentation de 20 % )}{\to} 1,2 u_{n} \overset{- 28 ( prélèvement de 28 poissons à la fin de chaque année )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,2 u_{n} - 28}}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 1,2 u_{n} - 28$ .
On définit la suite $(w_{n})$ par : $w_{n} = u_{n} - 140$ pour tout $n \in ℕ$ .
1. Montrer que la suite $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2.
  Préciser son terme initial.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 140 \\ = & 1,2 u_{n} - 28 - 140 \\ = & 1,2 u_{n} - 168 \\ = & 1,2 \times (u_{n} - 140) \\ = & 1,2 w_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n + 1} = 1,2 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2 et dont le premier terme $w_{0} = 150 - 140 = 10$ .
2. Exprimer pour tout $n \in ℕ$ , $w_{n}$ en fonction de n.
  En déduire $u_{n}$ en fonction de n.
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme $w_{0} = 10$ donc pour tout entier naturel n, on a : $w_{n} = 10 \times {1,2}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $w_{n} = u_{n} - 140 \Leftrightarrow u_{n} = w_{n} + 140$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 10 \times {1,2}^{n} + 140$ .
Sachant que l'aquarium ne peut contenir plus de 200 poissons, la responsable doit-elle prévoir l'achat d'un autre aquarium dans les années à venir ? Si oui, en quelle année ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 10 \times {1,2}^{n} + 140 ⩽ 200 & \Leftrightarrow & 10 \times {1,2}^{n} ⩽ 60 \\ \Leftrightarrow & {1,2}^{n} ⩽ 6 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,2}^{n}) ⩽ \ln 6 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,2 ⩽ \ln 6 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩽ \frac{\ln 6}{\ln 1,2} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 6}{\ln (1,2)} \approx 9,8$ alors, le plus grand entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩽ 200$ est $n = 9$ .
C'est en 2027 que la responsable devra prévoir l'achat d'un autre aquarium.

partie b

On sait qu'il y a eu 1 350 visiteurs le premier mois et que le prix d'entrée est fixé à 8 euros. La responsable fait l'hypothèse d'une augmentation mensuelle de la fréquentation des visiteurs de 12 %. Elle veut alors savoir, sous cette hypothèse, la recette totale accumulée durant les six premiers mois.

Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine la recette cherchée.
$S \leftarrow 0$
$V \leftarrow 1350$
Pour N allant de 1 à 6
$S \leftarrow S + V$
$V \leftarrow 1,2 V$
Fin Pour
$S \leftarrow 8 S$
Quel est le montant de la recette cherchée ?
Soit $V_{n}$ le nombre de visiteurs le n-ième mois. On a $V_{1} = 1350$ et, tout entier naturel n, $V_{n + 1} = 1,12 V_{n}$ donc $(V_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,12 et dont le premier terme $V_{1} = 1350$ .
Le nombre total S de visiteurs au cours des six premiers mois est : $S = 1350 \times \frac{1 - {1,12}^{6}}{1 - 1,12} \approx 10955,5$
Arrondi à l'unité, le nombre de visiteurs au cours des six premiers mois est 10 956. D'où une recette cumulée $R = 10956 \times 8 = 87648$
Selon ce modèle, le montant estimé de la recette totale accumulée durant les six premiers mois est d'environ 87 648 euros.

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