Baccalauréat 2019 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2019

Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats

La partie C est indépendante des parties A et B.

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes :

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

partie a

Un client joue à ce jeu. On note :
N l'évènement « Le client découvre un numéro entre 1 et 15 » ;
E l'évènement « Le client obtient une étoile ».

    1. Justifier que P(N)=0,3 et que PN(E)=0,8.

    2. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  1. Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.

  2. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.

  3. Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?

partie b

Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.
Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 euros par tranche de 100 clients y participant. Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule 100 fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.
On appelle X la variable aléatoire qui, à 100 jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés. On admet que X suit une loi binomiale.

  1. Préciser les paramètres de X.

  2. Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement 30 clients gagnants.

  3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
    Le budget prévisionnel est-il suffisant ?

partie c

La direction de l'hypermarché étudie le temps que les clients passent dans son magasin.
On admet que le temps, exprimé en minute, passé dans ce magasin par un client peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance μ=45 et d'écart type σ=5.

  1. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre 30 et 60 minutes.

  2. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou. Il prend pour modèle un bambou d'une taille initiale de 1 m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5 % auxquels s'ajoutent 20 cm.
Pour tout entier naturel n non nul, on note un la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n-ième mois, et u0=100.

  1. Calculer u1 et u2.

  2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, un+1=1,05×un+20.

  3. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un+400.

    1. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme v0.

    2. Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n.

    3. En déduire que pour tout entier naturel n, un=500×1,05n-400.

    4. Calculer la taille du bambou, au centimètre près, à la fin du 7e mois.

  4. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel n est un entier naturel et u est un nombre réel.

    u100
    n0

    Tant que u<200 faire
    u1,05×u+20
    nn+1
    Fin Tant que

    1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme.

      Test u<200vrai
      Valeur de u100
      Valeur de n0
    2. Quelle est la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
      Interpréter le résultat au regard de la situation étudiée dans cet exercice.

    3. Modifier les lignes nécessaires dans l'algorithme pour déterminer le nombre de mois qu'il faudrait à un bambou de 50 cm pour atteindre ou dépasser 10 m.


EXERCICE 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte et si oui, en quelle année cela se produirait.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.

En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel n, an la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année 2018+n, et bn la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

partie a

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

  2. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

    1. Vérifier que a2=0,552 et b2=0,448.

    2. Interpréter le coefficient 0,552 dans le contexte de l'énoncé.

  3. On note a et b les coefficients de la matrice P correspondant à l'état stable de ce graphe.

    1. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système {-0,1a+0,3b=0a+b=1.

    2. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

partie b

On admet que pour tout entier naturel n, an+1=0,6an+0,3 et que la suite (an) est croissante.

  1. On donne l'algorithme suivant dans lequel A est un nombre réel et N est un entier naturel.

    A0,2
    N0

    Tant que ⋯ faire
    A prend la valeur ⋯
    N prend la valeur ⋯
    Fin Tant que

    Recopier puis compléter les pointillés des lignes 3 à 5 de l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

  2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?


Exercice 3 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Dans la figure ci-dessous sont représentés dans un repère orthogonal :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie a

Dans cette partie les estimations seront obtenues par lecture graphique.

Cette partie A est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

  1. Parmi les quatre valeurs ci-dessous, la meilleure valeur approchée du coefficient directeur de la tangente T est :

    a.   -13

    b.   -3

    c.   3

    d.   13

  2. La fonction f semble :

    a.   concave sur [-5;0]

    b.   concave sur [-10;0]

    c.   convexe sur [-10;5]

    d.   convexe sur [-5;5]

  3. L'aire du domaine S, en unité d'aire, appartient à l'intervalle :

    a.   [-4;-2]

    b.   [4;7]

    c.   [0;3]

    d.   [7;10]

partie b

La fonction f précédente, définie et dérivable sur l'intervalle [-10;5], a pour expression f(x)=(x-5)e0,2x+5.

  1. On note f la fonction dérivée de f sur l'intervalle [-10;5].

    1. Montrer que f(x)=0,2e0,2x.

    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [-10;5].

    3. Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente T à 𝒞 au point A d'abscisse -5.

  2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

    1

    g(x)=0.2x*exp(0.2x)g(x)=15xe15x

    2

    Dérivée    g(x)=125xe15x+15e15x

    1. En utilisant ces résultats, justifier que la dérivée seconde de f, notée f, est définie par f(x)=(0,2+0,04x)e0,2x.

    2. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle [-10;5].

  3. On admet qu'une primitive de f sur l'intervalle [-10;5] est la fonction F définie par F(x)=(5x-50)e0,2x+5x.

    1. Déterminer la valeur exacte de I définie par I=05f(x)dx.

    2. Montrer que l'aire du domaine du plan situé sous la droite 𝒟, au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation x=5 vaut 12,5 unités d'aire.

    3. En déduire une valeur approchée de l'aire du domaine S en unité d'aire.


Exercice 4 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Afin de respecter l'accord signé sur la pollution de l'air, certaines entreprises, dès l'année 2014, ont été contraintes de diminuer chaque année la quantité de CO2 qu'elles produisent.
Une de ces entreprises émettait 15 milliers de tonnes de CO2 en 2014 et 14,7 milliers de tonnes en 2015.
On suppose que le taux de diminution annuel de CO2 émis restera constant pendant les années suivantes.

  1. Calculer le taux d'évolution de l'émission de CO2 par cette entreprise entre 2014 et 2015.

  2. L'accord prévoit que cette entreprise devra produire moins de 12 milliers de tonnes de CO2 par an. En détaillant la méthode employée, déterminer à partir de quelle année la quantité de CO2 émise par cette entreprise passera en dessous de ce seuil de 12 milliers de tonnes.



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