sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2019

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Recopier pour chaque question son numéro et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
.Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

1. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-\mathrm{0,9}{x}^3+\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{1,5}$ et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère. Le nombre de points d'intersection entre la courbe 𝒞 et la droite d'équation $y=2$ est :

   À l'aide de la calculatrice, on représente la courbe 𝒞 et la droite d'équation $y=2$. On constate qu'il y a trois points d'intersection entre les deux courbes.

   a.   0

   b.   1

   c.   2

   d.   3

2. Une des solutions de l'inéquation $1-{\mathrm{0,85}}^n>\mathrm{0,99}$ d'inconnue n entier naturel est :

   L'inconnue n est un entier naturel donc les propositions c et d ne conviennent pas.
   Comme $1-{\mathrm{0,85}}^{28}\approx \mathrm{0,989}$ et $1-{\mathrm{0,85}}^{29}\approx \mathrm{0,991}$ on en déduit que 29 est une des solutions de l'inéquation $1-{\mathrm{0,85}}^n>\mathrm{0,99}$.

   a.   28

   b.   29

   c.   ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,85}}{\ln \mathrm{0,01}}}$

   d.   28,336

3. Esteban va à l'école chaque matin avec une trousse. À la fin de la journée, il oublie sa trousse avec une probabilité de 0,2. Dans l'année le nombre de jours d'école est de 162.
   On considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres.
   La probabilité qu'il oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ :

   Soit X la variable aléatoire associée au nombre de fois où Esteban oublie sa trousse. Comme on considère que les oublis journaliers sont indépendants les uns des autres alors, X suit la loi binomiale de paramètres $n=162$ et $p=\mathrm{0,2}$.
   À l'aide de la calculatrice, $P\left(X=30\right)=\left(\begin{array}{c}162\\ 30\end{array}\right)\times {\mathrm{0,2}}^{30}\times {\left(1-\mathrm{0,2}\right)}^{132}\approx \mathrm{0,071}$.

   a.   0,19

   b.   0,07

   c.   0,60

   d.   0,36

4. Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël. Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude 0,001 au niveau de confiance 0,95 de cette proportion, la taille de l'échantillon doit être égale à :

   Un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance 0,95 est $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ où f est la fréquence observée dans un échantillon de taille n.
   Au niveau de confiance 0,95, l'amplitude de l'intervalle de confiance est ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$.

   La taille n de l'échantillon est solution de l'inéquation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}⩽\mathrm{0,001}& \iff & \sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,001}}}\\ & \iff & n⩾{2000}^2\\ & \iff & n⩾4000000\end{array}$$

   Il faut interroger au moins 4 000 000 de personnes pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure à 0,001

   a.   4 000 000

   b.   1 000

   c.   2 000

   d.   100 0000

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