sujet : Antilles Guyane 2020

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.Chaque bonne réponse rapporte un point. Une réponse incorrecte, plusieurs réponses ou une question sans réponse n'apportent ni ne retirent aucun point.

partie a

1. La fonction f est croissante sur l'intervalle :

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime$.

   Sur l'intervalle $\left[-2;0\right]$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction f est croissante sur cet intervalle.

   a. $\left[\mathrm{1,5};4\right]$

   b. $\left[-2;0\right]$

   c. $\left[0;2\right]$

   d. $\left[3;4\right]$

2. La fonction f est concave sur l'intervalle :

   L'étude de la convexité de la fonction f se déduit des variations de sa dérivée $f\prime$.

   Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, $f\prime$ est décroissante donc la fonction f est concave sur cet intervalle.

   a. $\left[\mathrm{1,5};4\right]$

   b. $\left[-2;0\right]$

   c. $\left[0;2\right]$

   d. $\left[3;4\right]$

partie b

3. L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction $g\prime$ dérivée de la fonction g. Laquelle ?

   Le nombre dérivé $g\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point $A\left(1;-3\right)$ qui coupe l'axe des ordonnées au point $B\left(0;-5\right)$ d'où $$g\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{0-1}{\left(-5\right)-\left(-3\right)}}=2$$La courbe de la réponse b est la seule courbe passant par le point de coordonnées $\left(1;2\right)$

   a.	b.
   c.	d.

4. L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point A est :

   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point A est $g\prime \left(1\right)=2$. La tangente coupe l'axe des ordonnées au point $B\left(0;-5\right)$ d'où une équation de la tangente : $y=2x-5$

   a. $y=-3x+1$

   b. $y=x-5$

   c. $y=2x-5$

   d. $y=x-4$

partie c

5. Soit f la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels par $f\left(x\right)=5{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f et, pour tout réel x,

   Pour tout réel x, $f\left(x\right)=5\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ d'où $f\prime \left(x\right)=5\times u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{c}u\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{3}}\\ u\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}$. D'où :$$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{5}{3}}{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$$

   a. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x}{3}}{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$

   b. $f\prime \left(x\right)=5{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$

   c. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5}{3}}{\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$

   d. $f\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-{\displaystyle \frac{x}{3}}}$

6. On considère la courbe ci-dessous représentative de la fonction f définie sur l'ensemble des réels par $f\left(x\right)=-3x^2+2x+4$.
   Dans l'algorithme ci-dessous, a et b sont deux réels.

   $a\leftarrow 0$ $b\leftarrow 4$ Tant que $b>0$ $a\leftarrow a+\mathrm{0,01}$ $b\leftarrow -3a^2+2a+4$ Fin Tant que

   Quelle est la valeur de a en sortie de l'algorithme ?

   L'algorithme, permet de déterminer sur l'intervalle $\left[4;+\infty \right[$, la plus petite valeur approchée au centième près de a solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.
   Graphiquement, la courbe est en dessous de l'axe des abscisses pour une valeur supérieure à 1,5

   a. 1,54

   b. 1,48

   c. $-\mathrm{0,86}$

   d. $-\mathrm{0,87}$

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