sujet : Antilles Guyane 2020

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

partie a

1. En justifiant la réponse, dire si :

   1. le graphe est complet ;

      Les sommets H et C ne sont pas ajacents donc le graphe n'est pas complet.

      ---

   2. le graphe est connexe ;

      La chaîne fermée H - B - C - L - N - A - M - T - A contient tous les sommets du graphe. Par conséquent, pour toute paire de sommets du graphe il existe au moins une chaîne les reliant donc le graphe est connexe.

      ---

   3. il existe une chaîne eulérienne.

      Déterminons le degré de chacun des sommets :

      Sommets	A	B	C	H	L	M	N	T
      Degré	3	3	4	2	3	3	2	4

      ---

      Il y a quatre sommets de degré impair donc le graphe n'admet pas une chaîne eulérienne.

      ---

2. Une personne veut aller de Hendaye à Nice.
   Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet qui serait le plus économique et préciser le coût de ce trajet.

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet qui serait le plus économique :

   A	B	C	H	L	M	N	T	Sommet sélectionné
   ∞	∞	∞	0	∞	∞	∞	∞	H (0)
   ∞	14 (H)	∞		∞	∞	∞	27 (H)	B (14)
   ∞		41 (B)		∞	∞	∞	27 (H) 26 (B)	T (26)
   ∞		41 (B)		∞	56 (T)	∞		C (41)
   ∞				53 (C)	56 (T) 55 (C)	∞		L (53)
   72 (L)					55 (C)	88 (L)		M (55)
   72 (L) 62 (M)						88 (L)		A (62)
   						88 (L) 81 (A)		N (81)

   ---

   Le sommet H étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de H et on remonte la chaîne en suivant les prédécesseurs. $N\leftarrow A\leftarrow M\leftarrow C\leftarrow B\leftarrow H$.

   Le trajet qui serait le plus économique pour aller de Hendaye à Nice est H - B - C - M - A - N, avec un coût de 81 euro.

   ---

partie b

1. Justifier que x, y et z sont solutions du système : $\{\begin{array}{l}x+y+z=40\\ 12x+17y+5z=480\\ 5x+9y+3z=236\end{array}$.

   • Le commercial a effectué 40 trajets aller-retour d'où :$$x+y+z=40$$
   • Le commercial a parcouru 19 200 km d'où :$$\begin{array}{ccc}480x+680y+200z=19200& \iff & 12x+17y+5z=480\end{array}$$
   • Le commercial roulé 236 heures d'où :$$5x+9y+3z=236$$

   Ainsi, x, y et z sont solutions du système : $\{\begin{array}{l}x+y+z=40\\ 12x+17y+5z=480\\ 5x+9y+3z=236\end{array}$.

   ---

2. Déterminer les matrices A, X et B qui permettent d'écrire le système précédent sous la forme $AX=B$.

   Posons $A=\left(\begin{array}{rrr}1& 1& 1\\ 12& 17& 5\\ 5& 9& 3\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{r}40\\ 480\\ 236\end{array}\right)$. Alors le système peut s'écrire sous la forme matricielle $AX=B$.

   ---

3. Résoudre le système et interpréter dans le contexte de l'exercice le résultat obtenu.

   À l'aide de la calculatrice, on vérifie que la matrice A est inversible et $A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{11}{18}}& -{\displaystyle \frac{1}{9}}& {\displaystyle \frac{7}{18}}\\ {\displaystyle \frac{23}{18}}& -{\displaystyle \frac{2}{9}}& {\displaystyle \frac{5}{18}}\end{array}\right)$. On en déduit que : $$\begin{array}{rcl}AX=B& ⟺& A^{-1}AX=A^{-1}B\\ & ⟺& X=A^{-1}B\end{array}$$

   Soit :$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}& -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{11}{18}}& -{\displaystyle \frac{1}{9}}& {\displaystyle \frac{7}{18}}\\ {\displaystyle \frac{23}{18}}& -{\displaystyle \frac{2}{9}}& {\displaystyle \frac{5}{18}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{r}40\\ 480\\ 236\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}16\\ 14\\ 10\end{array}\right)$$

   On obtient ainsi, l'unique solution du système $x=16$ ; $y=14$ et $z=10$.
   Le commercial a effectué 16 trajets aller-retour Montpellier- Toulouse, 14 trajets aller-retour Montpellier-Clermont Ferrand et 10 trajets aller-retour Montpellier-Avignon.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesQuestions ouvertesProbabilitésVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesVrai-Faux (spécialité)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions : Lectures graphiquesFonctions : Lectures de tableauxFonction logarithmeFonction logarithme avec intégraleFonction exponentielleFonction exponentielle avec intégraleCalcul intégralFonctions : Applications économiquesExponentielle : Applications économiquesAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement non affine d'un nuage de pointsAjustement exponentiel d'un nuage de pointsQuestions ouvertesProbabilitésAdéquation à une loi équirépartieVariables aléatoires discrètesLoi binomialeLois de probabilité à densitéQCM AnalyseQ.C.M. ProbabilitésQ.C.M. DiversVrai - FauxVrai - Faux (Probabilités)Réstitution organisée de connaissancesGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesGraphes probabilistes et graphesQ.C.M. SpécialitéVrai-Faux (spécialité)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.