Baccalauréat 2020 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Antilles Guyane 2020

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe (C) ci-dessous rend compte de la concentration des richesses des habitants d'un certain pays en 2017.
La courbe (C) a pour équation $y = 2,1 x^{3} - 1,8 x^{2} + 0,7 x$ sur l'intervalle $[0; 1]$ .
On admet que sur l'intervalle $[0; 1]$ , la courbe (C) est située au-dessous du segment [OA] d'équation $y = x$ .

Exemple de lecture du graphique: 90 % de la population détient 70 % des richesses.

On définit le coefficient de Gini γ par le quotient $γ = \frac{aire de la partie grisée}{aire du triangle OBA}$ .

On admet que le coefficient de Gini γ a les propriétés suivantes :

$0 ⩽ γ ⩽ 1$
Plus γ est grand, plus la répartition des richesses au sein de la population est inégalitaire.

Le coefficient de Gini en France en 2017 était de 0,289.

En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était-elle plus égalitaire qu'en France ?

Calculons le coefficient de Gini du pays étudié en 2017 :

L'aire du triangle OBA est égale à $\frac{1}{2}$ .
Sur l'intervalle $[0; 1]$ , la courbe (C) est située au-dessous du segment [OA] d'équation $y = x$ par conséquent, l'aire de la partie grisée est égale à : $\int_{0}^{1} x - (2,1 x^{3} - 1,8 x^{2} + 0,7 x) d x = \int_{0}^{1} - 2,1 x^{3} + 1,8 x^{2} + 0,3 x d x$
Une primitive de la fonction f définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par $f (x) = - 2,1 x^{3} + 1,8 x^{2} + 0,3 x$ est la fonction F définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par : $F (x) = - \frac{2,1}{4} x^{4} + \frac{1,8}{3} x^{3} + \frac{0,3}{2} x^{2} = - 0,525 x^{4} + 0,6 x^{3} + 0,15 x^{2}$
L'aire de la partie grisée est donc : $\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} f (x) d x & = & F (1) - F (0) \\ = & (- 0,525 + 0,6 + 0,15) - 0 \\ = & 0,225 \end{array}$
Le coefficient de Gini du pays étudié est donc $γ = \frac{0,225}{0,5} = 0,45$

Le coefficient de Gini du pays étudié est supérieur à celui de la France donc la répartition des richesses du pays étudié était plus inégalitaire qu'en France.

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