sujet : Antilles Guyane 2020

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On s'intéresse à la gestion des déchets ménagers au sein d'une grande agglomération.
Grâce au développement du recyclage, les experts estiment que la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer devrait diminuer de 5 % par an. Par ailleurs, suite à la signature d'un contrat, cette agglomération s'engage à partir du 1^er janvier 2020 à collecter et incinérer 12 000 tonnes de déchets supplémentaires par an provenant d'une commune voisine.
Durant l'année 2019, l'agglomération a incinéré 300 000 tonnes de déchets.
On admet que la situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ donne, pour tout entier naturel n, une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019+n$. On a ainsi $u_0=300$.

partie a

1. 1. Déterminer $u_1$.

      $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& \left(1-{\displaystyle \frac{5}{100}}\right)\times u_0+12\\ & =& \mathrm{0,95}\times 300+12\\ & =& 297\end{array}$$

      $u_1=297$.

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   2. Justifier, pour tout entier naturel n, que $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+12$.

      Soit $u_n$ une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019+n$. Une estimation de la quantité de déchets incinérés durant l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :

      $$u_n\stackrel{\times \mathrm{0,95}\text{ ( diminution de 5 \% ) }}{\to }\mathrm{0,95}{u}_n\stackrel{+12\text{ ( 12 milliers de tonnes de déchets supplémentaires ) }}{\to }\underset{u_{n+1}}{\underbrace{\mathrm{0,95}{u}_n+12}}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{0,95}{u}_n+12$.

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2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-240$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme $v_0$.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-240\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}{u}_n+12-240\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}{u}_n-228\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}\times \left(u_n-240\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,95}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,95}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et dont le premier terme $v_0=300-240=60$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n pour tout entier naturel n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=60$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_n=60\times {\mathrm{0,95}}^n$.

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   3. En déduire, pour tout entier naturel n, que $u_n=60\times {\mathrm{0,95}}^n+240$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-240\iff u_n=v_n+240$ on en déduit que :

      Pour tout entier naturel n, $u_n=60\times {\mathrm{0,95}}^n+240$.

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3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   $0<\mathrm{0,95}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,95}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }60\times {\mathrm{0,95}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }60\times {\mathrm{0,95}}^n+240=240$.

   Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=240$. Ce qui signifie, qu'à partir d'un certain nombre d'années, la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer sera proche de 240 000 tonnes par an.

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partie b

L'agglomération s'est fixé l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15 % d'ici 2039 par rapport à 2019.

1. Justifier que cet objectif ne sera pas atteint si la diminution des déchets suit les prévisions des experts.

   L'objectif d'une diminution de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés de 15 % est :$$300\times \left(1-{\displaystyle \frac{15}{100}}\right)=255$$

   Or une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année 2039 ( ce qu correspond à $n=20$) est :$$u_{20}=60\times {\mathrm{0,95}}^{20}+240\approx \mathrm{261,509}$$

   Selon les prévisions des experts, l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15 % d'ici 2039 ne sera pas atteint.

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2. 1. Dans l'algorithme ci-dessous N est un nombre entier et U un nombre réel.
      Recopier et compléter l'algorithme afin que la variable N contienne, à la fin de l'exécution de l'algorithme, l'année à partir de laquelle la quantité de déchets incinérés aura diminué de 15 % par rapport à 2019.

      On souhaite qu'à la fin de l'exécution de l'algorithme la variable $U⩽255$ :

      $N\leftarrow 2019$
      $U\leftarrow 300$
      Tant que $U>255$
      $N\leftarrow N+1$
      $U\leftarrow \mathrm{0,95}\times U+12$
      Fin Tant que

   2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

      • méthode 1

        On peut programmer l'algorithme précédent sur la calculatrice ou calculer les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ on a : $u_{27}\approx \mathrm{255,021}$ et $u_{28}\approx \mathrm{254,27}$.

        À la fin de l’exécution de l’algorithme, la variable N contient la valeur $N=2019+28=2047$.

      • méthode 2

        On cherche le plus petit entier naurel n solution de l'inéquation : $60\times {\mathrm{0,95}}^n+240⩽255$.

        Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}60\times {\mathrm{0,95}}^n+240⩽255& \iff & 60\times {\mathrm{0,95}}^n⩽15& \\ & \iff & {\mathrm{0,95}}^n⩽\mathrm{0,25}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,95}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,25}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,95}⩽\ln \mathrm{0,25}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,25}}{\ln \mathrm{0,95}}}& \ln \mathrm{0,95}<0\end{array}$$

        Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,25}}{\ln \mathrm{0,95}}}\approx \mathrm{27,03}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $60\times {\mathrm{0,95}}^n+240⩽255$ est $n=28$.

      C'est en 2047 que l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15 % sera atteint.

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