sujet : Nouvelle Calédonie décembre 2020

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Calculer le pourcentage d'évolution, arrondi à l'unité, du chiffre d'affaires entre 2017 et 2018.

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution entre 2017 et 2018 est : $$m={\displaystyle \frac{66}{45}}={\displaystyle \frac{22}{15}}\approx \mathrm{1,4667}$$

   Entre 2017 et 2018 le chiffre d'affaires a augmenté d'environ 47 %

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2. Avec cette modélisation, calculer en million de dollars arrondi au dixième, le chiffre d'affaires prévu pour le marché du jeu en ligne pour l'année 2020.

   $$\begin{array}{clcl}& c_1=\mathrm{1,28}{c}_0+\mathrm{250,6}& \text{soit}& c_1=\mathrm{1,28}\times 66+\mathrm{250,6}=\mathrm{335,08}\\ \text{et}& c_2=\mathrm{1,28}{c}_1+\mathrm{250,6}& \text{soit}& c_2=\mathrm{1,28}\times \mathrm{335,08}+\mathrm{250,6}\approx \mathrm{679,5}\end{array}$$

   Avec cette modélisation, le chiffre d'affaires prévu pour le marché du jeu en ligne pour l'année 2020 est d'environ 679,5 millions de dollars.

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3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ en posant pour tout entier naturel n, $v_n=c_n+895$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& c_{n+1}+\mathrm{895}\hfill \\ & =& \mathrm{1,28}{c}_n+\mathrm{250,6}+\mathrm{895}\hfill \\ & =& \mathrm{1,28}{c}_n+\mathrm{1145,6}\hfill \\ & =& \mathrm{1,28}\times \left(c_n+\mathrm{895}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{1,28}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{1,28}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,28 et dont le premier terme $v_0=66+\mathrm{895}=961$.

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   2. Pour tout entier naturel n, donner l'expression de $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,28 et de premier terme $v_0=961$ donc pour tout entier naturel n, on a :$v_n=961\times {\mathrm{1,28}}^n$

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $c_n=961\times {\mathrm{1,28}}^n-895$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=c_n+895\iff c_n=v_n-895$ on en déduit que :

      $c_n=961\times {\mathrm{1,28}}^n-895$ pour tout entier naturel n.

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4. On considère l'algorithme ci-dessous :

   $c\leftarrow 66$
   $S\leftarrow 66$
   Pour i allant de 1 à n
   $c\leftarrow \mathrm{1,28}c+\mathrm{250,6}$
   $S\leftarrow S+c$
   Fin Pour

   On choisit $n=4$.

   1. Recopier puis compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies à l'unité.

      Valeur de i		1	2	3	4
      Valeur de c	66	335	680	1120	1685
      Valeur de S	66	401	1081	2201	3886

   2. Après exécution de l'algorithme, quelle est la valeur de S obtenue, arrondie à l'unité, pour $n=4$ ?

      D'après le tableau précédent, la valeur de S obtenue, arrondie à l'unité, pour $n=4$ est : 3886

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   3. Donner une interprétation dans le contexte de l'exercice de la valeur de S obtenue à la question précédente.

      Après quatre années, le chiffre d'affaires cumulé prévisible est d'environ 3886 millions de dollars.

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