Baccalauréat 2020 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie décembre 2020

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe $𝒞_{f'}$ , donnée en annexe, est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0,5; 9]$ .
La droite T est la tangente à la courbe $𝒞_{f'}$ au point d'abscisse 2.
Le domaine grisé, noté 𝒟, est délimité par l'axe des abscisses, la courbe $𝒞_{f'}$ et les droites verticales d'équation $x = 1$ et $x = 2$ .

partie a : Étude graphique

1. Avec la précision permise par le graphique, déterminer $f (1)$ et $f' (2)$ .
  
  $f (1) = 3$ . La tangente à la courbe $𝒞_{f'}$ au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f' (2) = 0$ .
2. Le nombre dérivé de f en 1 est 2. Tracer sur l'annexe, à rendre avec la copie, la tangente à la courbe $𝒞_{f'}$ au point d'abscisse 1.
  La tangente à la courbe $𝒞_{f'}$ au point d'abscisse 1 a pour équation : $\begin{array}{lcl} y = f' (1) \times (x - 1) + f (1) & soit & y = 2 \times (x - 1) + 3 \\ \Leftrightarrow & y = 2 x + 1 \end{array}$
  annexe
Résoudre graphiquement, avec la précision permise par le graphique, l'équation $f (x) = 0$ .
Grphiquement, la solution de l'équation $f (x) = 0$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe $𝒞_{f'}$ avec l'axe des abscisses.
Une valeur approchée de la solution de l'équation $f (x) = 0$ est $x \approx 6,1$ .
1. Exprimer l'aire 𝒜 du domaine 𝒟 grisé à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
  Sur l'intervalle $[1; 2]$ , la courbe $𝒞_{f'}$ est au dessus de l'axe des abscisses. D'où $𝒜 = \int_{1}^{2} f (x) d x$ .
2. En utilisant les éléments du graphique, donner un encadrement par deux entiers consécutifs, de l'aire 𝒜 du domaine 𝒟 grisé en unités d'aire.
  L'aire du domaine 𝒟 grisé est comprise entre l'aire de deux rectangles d'où $3 ⩽ 𝒜 ⩽ 4$ .

partie b : Étude algébrique

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $[0,5; 9]$ par $f (x) = 4 \ln (x) + 5 - 2 x$ . On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction f.

Montrer que l'on a, pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0,5; 9]$ , $f' (x) = \frac{2 (2 - x)}{x}$ .

Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[0,5; 9]$ : $f' (x) = 4 \times \frac{1}{x} - 0 + 2 = \frac{4 - 2 x}{x} = \frac{2 (2 - x)}{x}$

Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[0,5; 9]$ par $f' (x) = \frac{2 (2 - x)}{x}$ .

Étudier le signe de $f' (x)$ sur l'intervalle $[0,5; 9]$ .
Sur l'intervalle $[0,5; 9]$ , $f' (x)$ est du même signe que $(2 - x)$ . Or $\begin{matrix} 2 - x ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ 2 \end{matrix}$

Sur l'intervalle $[0,5; 2]$ , $f' (x) ⩾ 0$ et, $f' (x) ⩽ 0$ sur l'intervalle $[2; 9]$ .

Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle $[0,5; 9]$ .

Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée :

x	0,5		2		9
Signe de $f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
Variations de f	$4 \ln (0,5) + 4 \approx 1,2$		$4 \ln (2) + 1 \approx 3,8$		$4 \ln (9) - 13 \approx - 4,2$

1. Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[0,5; 9]$ .
  
  La fonction f est dérivable donc continue sur l'intervalle $[0,5; 9]$ avec $f (0,5) = 4 \ln (0,5) + 4 \approx 1,2$ , $f (2) = 4 \ln (2) + 1 \approx 3,8$ et $f (9) = 4 \ln (9) - 13 \approx - 4,2$ . En outre :
  - Sur l'intervalle $[0,5; 2]$ , la fonction f est strictement croissante et $f (0,5) > 0$ donc l'équation $f (x) = 0$ n'a pas de solution sur l'intervalle $[0,5; 2]$
  - Sur l'intervalle $[2; 9]$ , la fonction f est strictement décroissante et $f (9) < 0 < f (2)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 0,5$ admet une unique solution $α \in [2; 9]$ .
  L'équation $f (x) = 0$ admet une seule solution $α \in [2; 9]$ .
2. Donner à l'aide la calculatrice un encadrement de α d'amplitude 0,01.
  
  Avec la calculatrice, on trouve $6,12 < α < 6,13$ .
1. Montrer que la fonction F définie par : $F (x) = - x^{2} + 4 x \ln (x) + x$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $[0,5; 9]$ .
  
  Pour tout réel x de l'intervalle $[0,5; 9]$ , $F' (x) = - 2 x + 4 \times (\ln (x) + x \times \frac{1}{x}) + 1 = - 2 x + 4 \ln (x) + 5$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[0,5; 9]$ on a $F' (x) = f (x)$ donc la fonction F est une primitive de f sur $[0,5; 9]$ .
2. En déduire la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de l'aire 𝒜 du domaine grisé 𝒜, en unité d'aire.
  
  Comme la fonction f est positive sur l'intervalle $[1; 2]$ alors, l'aire 𝒜, en unités d'aire, du domaine grisé 𝒜 compris entre la courbe $𝒞_{f'}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$ est égale à l'intégrale : $\begin{array}{rcl} \int_{1}^{2} f (x) d x & = & F (2) - F (1) \\ = & (- 4 + 8 \ln (2) + 2) - (- 1 + 4 \ln (1) + 1) \\ = & 8 \ln (2) - 2 \end{array}$
  
  Ainsi, $𝒜 = 8 \ln (2) - 2$ u.a. Soit environ 3,55 unités d'aire.

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