sujet : Polynésie deuxième session septembre 2020

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.

   • Parmi les personnes participant à l'étude, 41 % sont en surpoids d'où $p\left(S\right)=\mathrm{0,41}$ et $p\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,41}=\mathrm{0,59}$.
   • Parmi les individus en surpoids, 12 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil d'où $p_S\left(A\right)=\mathrm{0,12}$ et $p_S\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,88}$.
   • Parmi les individus qui ne sont pas en surpoids, 4 % souffrent du syndrome d'apnée du sommeil d'où $p_{\overline{S}}\left(A\right)=\mathrm{0,04}$ et $p_{\overline{S}}\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,04}=\mathrm{0,96}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Calculer la probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(S\cap A\right)=p_S\left(A\right)\times p\left(S\right)& \text{soit}& p\left(S\cap A\right)=\mathrm{0,12}\times \mathrm{0,41}=\mathrm{0,0492}\end{array}$$

   La probabilité que la personne choisie soit en surpoids et souffre d'apnée du sommeil est égale à 0,0492.

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3. Montrer que $p\left(A\right)=\mathrm{0,0728}$.
   Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

   Les évènements S et A sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(A\right)=p\left(S\cap A\right)+p\left(\overline{S}\cap A\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{S}\cap A\right)=p_{\overline{S}}\left(A\right)\times p\left(\overline{S}\right)& \text{soit}& p\left(\overline{S}\cap A\right)=\mathrm{0,04}\times \mathrm{0,59}=\mathrm{0,0236}\end{array}$$

   On obtient alors $$p\left(A\right)=\mathrm{0,0492}+\mathrm{0,0236}=\mathrm{0,0728}$$

   $p\left(A\right)=\mathrm{0,0728}$. La probabilité que la personne choisie souffre d'apnée du sommeil est égale à 0,0728.

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4. On choisit au hasard une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil. Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_A\left(S\right)={\displaystyle \frac{p\left(S\cap A\right)}{p\left(A\right)}}& \text{Soit}& p_A\left(S\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0492}}{\mathrm{0,0728}}}\approx \mathrm{0,6758}\end{array}$$

   La probabilité qu'une personne qui souffre du syndrome d'apnée du sommeil soit en surpoids est d'environ 0,6758.

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partie b

Dans cette partie, on s'intéresse au cas particulier d'un patient souffrant d'apnée du sommeil.
Pendant plusieurs nuits, on observe son rythme respiratoire au cours de son sommeil. Ces examens permettent d'établir que la durée, en seconde, des apnées de ce patient peut être modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale d'espérance $\mu =22$ et d'écart-type $\sigma =4$.

1. Donner une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près de la probabilité $p\left(14⩽D⩽30\right)$.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   Avec la calculatrice, on trouve $p\left(14⩽D⩽30\right)\approx \mathrm{0,95}$.

   La probabilité que la durée des apnées du patient soit comprise entre 14 et 30 secondes est 0,95.

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2. Calculer, à ${10}^{-2}$ près, une valeur approchée de la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de 30 secondes.

   La variable aléatoire D suit la loi normale d'espérance $\mu =22$ et d'écart-type $\sigma =4$ d'où : $$\begin{array}{rcl}p\left(D>30\right)& =& p\left(D⩾22\right)-p\left(22<D⩽30\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-p\left(22<X⩽30\right)\\ & \approx & \mathrm{0,02}\end{array}$$

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   Une valeur approchée de la probabilité qu'une apnée de ce patient dure plus de 30 secondes est 0,02.

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partie c

Une entreprise d'équipement médical commercialise un dispositif de ventilation en pression positive continue. Ce dernier permet de maintenir ouvertes les voies respiratoires du patient, prévenant ainsi les apnées du sommeil.
L'entreprise affirme que 91 % des patients qui utilisent le dispositif ressentent une amélioration de la qualité de leur sommeil.
Une étude est menée sur 348 patients auxquels on fait tester le dispositif. Après plusieurs nuits, 290 personnes déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil.

Peut-on remettre en cause l'affirmation de l'entreprise d'équipement médical? Justifier la réponse.

On a $n=348$, $n\times p=348\times \mathrm{0,91}=\mathrm{316,68}$ et $n\times \left(1-p\right)=348\times \mathrm{0,09}=\mathrm{31,32}$.
Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de personnes qui déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil dans des échantillons de taille $n=348$ est : $$I=\left[\mathrm{0,91}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,91}\times \mathrm{0,09}}{348}}};\mathrm{0,91}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,91}\times \mathrm{0,09}}{348}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,879};\mathrm{0,951}\right]$$

La fréquence de personnes qui déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil est $f={\displaystyle \frac{290}{348}}\approx \mathrm{0,833}$.

La fréquence de personnes qui déclarent avoir ressenti une amélioration de la qualité de leur sommeil n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, au risque d'erreur de 5 %, on met en doute l'affirmation de l'entreprise.

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