sujet : Polynésie deuxième session septembre 2020

corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.

partie a

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste dans lequel on notera respectivement W et Y les sommets correspondants aux plate-formes Webflix et Yellow Cinéma.

   Chaque mois :

   • parmi les clients de Webflix, 89 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Yellow Cinéma. d'où $p_{W_n}\left(W_{n+1}\right)=\mathrm{0,89}$ et $p_{W_n}\left(Y_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,89}=\mathrm{0,11}$ ;
   • parmi les clients de Yellow Cinéma, 91 % renouvellent leur abonnement tandis que les autres quittent la plateforme pour s'abonner à Webflix d'où $p_{Y_n}\left(Y_{n+1}\right)=\mathrm{0,91}$ et $p_{Y_n}\left(W_{n+1}\right)=1-\mathrm{0,91}=\mathrm{0,09}$.

   D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

2. 1. Donner la matrice de transition M de ce graphe, en considérant les sommets dans leur ordre alphabétique.

      La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n+1}=P_n\times M$ est : $M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,89}& \mathrm{0,11}\\ \mathrm{0,09}& \mathrm{0,91}\end{array}\right)$.

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   2. Calculer l'état probabiliste $P_2$.

      $P_2=P_0\times M^2$ soit : $$\begin{array}{ccccc}{P}_2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,63}& \mathrm{0,37}\end{array}\right)\times {\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,89}& \mathrm{0,11}\\ \mathrm{0,09}& \mathrm{0,91}\end{array}\right)}^2& =& \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,594}& \mathrm{0,406}\end{array}\right)\end{array}$$

      $P_2=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,594}& \mathrm{0,406}\end{array}\right)$.

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3. Montrer que, pour tout entier naturel n, $w_{n+1}=\mathrm{0,8}{w}_n+\mathrm{0,09}$.

   Pour tout entier naturel n : $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{cc}{w}_{n+1}& y_{n+1}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}{w}_n& y_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,89}& \mathrm{0,11}\\ \mathrm{0,09}& \mathrm{0,91}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}{w}_n\times \mathrm{0,89}+y_n\times \mathrm{0,09}& w_n\times \mathrm{0,11}+y_n\times \mathrm{0,91}\end{array}\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier n, $w_{n+1}=\mathrm{0,89}{w}_n+\mathrm{0,09}{y}_n$ avec $w_n+y_n=1$ d'où $$\begin{array}{rcl}{w}_{n+1}& =& \mathrm{0,89}{w}_n+\mathrm{0,09}\times \left(1-w_n\right)\\ & =& \mathrm{0,89}{w}_n+\mathrm{0,09}-\mathrm{0,09}{w}_n\\ & =& \mathrm{0,8}{w}_n+\mathrm{0,09}\end{array}$$

   Pour tout entier naturel n non nul, on a $w_{n+1}=\mathrm{0,8}{w}_n+\mathrm{0,09}$.

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4. On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout entier naturel n, par $a_n=w_n-\mathrm{0,45}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{a}_{n+1}& =& w_{n+1}-\mathrm{0,45}\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{w}_n+\mathrm{0,09}-\mathrm{0,45}\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{w}_n-\mathrm{0,36}\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}\times \left(w_n-\mathrm{0,45}\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{a}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n+1}=\mathrm{0,8}{a}_n$ donc $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme $a_0=\mathrm{0,63}-\mathrm{0,45}=\mathrm{0,18}$.

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   2. Étant donné un entier naturel n, exprimer $a_n$ en fonction de n.

      $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $a_0=\mathrm{0,18}$ donc pour tout entier naturel n, on a :$a_n=\mathrm{0,18}\times {\mathrm{0,8}}^n$

      ---

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n, $w_n=\mathrm{0,18}\times {\mathrm{0,8}}^n+\mathrm{0,45}$.

      Comme pour tout entier naturel n, $a_n=w_n-\mathrm{0,45}\iff w_n=a_n+\mathrm{0,45}$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $w_n=\mathrm{0,18}\times {\mathrm{0,8}}^n+\mathrm{0,45}$.

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5. Les dirigeants de Webflix peuvent-ils espérer rester les leaders du marché à long terme ? Expliquer.

   $0<\mathrm{0,8}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,8}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,18}\times {\mathrm{0,75}}^n=0$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,18}\times {\mathrm{0,8}}^n+\mathrm{0,45}=\mathrm{0,45}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{w}_n=\mathrm{0,45}$.

   La suite $\left(w_n\right)$ converge vers 0,45 donc à long terme, 45 % des utilisateurs de ces plateformes seront abonnés à Webflix.

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partie b

Le réseau de serveurs permettant à Webflix de diffuser les films que la plateforme propose à ses abonnés est modélisé par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent les serveurs et sur les arêtes on a indiqué les temps de réponse, exprimés en milliseconde, entre deux serveurs.
Des données doivent transiter du serveur A vers le serveur H.

1. Déterminer, à l'aide d'un algorithme, un chemin que doivent suivre ces informations pour que la transmission soit la plus rapide possible.

   À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet qui minimise le temps de parcours pour que la transmission soit la plus rapide possible :

   A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
   0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
   	31 (A)	26 (A)	43 (A)	∞	∞	∞	∞	C (26)
   	31 (A)		43 (A)	∞	55 (C)	∞	∞	B (31)
   			43 (A)	52  (B)	55 (C)	∞	∞	D (43)
   				52  (B)	55 (C)	∞	∞	E (52)
   					55 (C)	68 (E)	81 (E)	F (55)
   						68 (E)	81 (E) 77 (F)	G (68)
   							77 (F)	H (77)

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   Le sommet H étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de H et on remonte la chaîne en suivant les prédécesseurs. $H\leftarrow F\leftarrow C\leftarrow A$.

   Le chemin que doivent suivre les informations pour que la transmission soit la plus rapide possible est A - C - F - H.

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2. Préciser le temps de réponse pour le chemin trouvé précédemment.

Le temps de réponse minimal du serveur A vers le serveur H est de 77 millisecondes.

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