sujet : Polynésie deuxième session septembre 2020

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. Avec la précision permise par le graphique :

   Éléments graphiques rajoutés à la courbe

   1. Donner une valeur approchée de $f\prime \left(38\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(38\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒯 à la courbe 𝒞 au point A d'abscisse 38. La doite 𝒯 semble passer par les points de coordonnées $\left(12;5\right)$ et $\left(38;4\right)$ d'où :$$f\prime \left(38\right)\approx {\displaystyle \frac{5-4}{12-38}}\approx -\mathrm{0,038}$$

      $f\prime \left(38\right)\approx -\mathrm{0,038}$.

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   2. Recopier, parmi les propositions suivantes, celle qui est exacte :

      Graphiquement, ${\displaystyle {\int }_{10}^{30}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩾80$ et ${\displaystyle {\int }_{80}^{100}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽20$. Par élimination, la seule proposition qui puisse être exacte est $130⩽{\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽190$.

      $7⩽{\displaystyle {\int }_{10}^{30}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽8$

      $130⩽{\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽190$

      $700⩽{\displaystyle {\int }_{80}^{100}f\left(x\right)\mathrm{d}x}⩽800$

2. 1. Vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;120\right]$ :$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,43}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2}}$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;120\right]$ on pose $u\left(x\right)=1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}$ d'où $u\prime \left(x\right)=\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}$.

      On en déduit que pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;120\right]$ : $$f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{4,3}\times \left(\mathrm{0,1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,43}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2}}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[0;120\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,43}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2}}$.

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   2. Retrouver le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.

      Comme pour tout réel x on a ${\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}>0$ et ${\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2>0$ alors, pour tout réel x, $-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,43}{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}}{{\left(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}\right)}^2}}<0$.

      Ainsi, $f\prime \left(x\right)<0$ par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.

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3. 1. Justifier que sur l'intervalle $\left[0;120\right]$, l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une unique solution que l'on appelle α.

      Nous avons : $f\left(0\right)=\mathrm{0,1}+{\displaystyle \frac{\mathrm{4,3}}{1+{\mathrm{e}}^{-6}}}\approx \mathrm{4,39}$ et $f\left(120\right)=\mathrm{0,1}+{\displaystyle \frac{\mathrm{4,3}}{1+{\mathrm{e}}^6}}\approx \mathrm{0,11}$.

      Sur l'intervalle $\left[0;120\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante avec $f\left(120\right)<1<f\left(0\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      sur l'intervalle $\left[0;120\right]$, l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une unique solution α.

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   2. Encadrer α par deux entiers consécutifs.

   $f\left(73\right)\approx \mathrm{1,02}$ et $f\left(74\right)\approx \mathrm{0,95}$

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $73<\alpha <74$.

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partie b

1. On admet que sur l'intervalle $\left[0;120\right]$, la fonction g d'expression $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{4,3}}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,1}x-6}}}$ a pour primitive la fonction G d'expression $G\left(x\right)=-43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x+6}\right)$.

   1. Donner une primitive F de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;120\right]$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;120\right]$, $f\left(x\right)=\mathrm{0,1}+g\left(x\right)$ donc une primitive F de la fonction f est définie par $F\left(x\right)=\mathrm{0,1}x+G\left(x\right)$

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;120\right]$ par $F\left(x\right)=\mathrm{0,1}x-43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,1}x+6}\right)$.

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   2. En déduire la valeur exacte de ${\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(120\right)-F\left(30\right)\\ & =& \left[12-43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-6}\right)\right]-\left[3-43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^3\right)\right]\\ & =& 9-43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-6}\right)+43\ln \left(1+{\mathrm{e}}^3\right)\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=9-43\times \left[\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-6}\right)-\ln \left(1+{\mathrm{e}}^3\right)\right]$.

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2. Calculer le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870. On en donnera une valeur approchée à 0,01 % près.

   Le taux de natalité moyen $t_m$ entre 1780 et 1870 est égal à la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[30;120\right]$ :$$t_m={\displaystyle \frac{1}{120-30}}\times {\displaystyle {\int }_{30}^{120}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{9-43\times \left[\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-6}\right)-\ln \left(1+{\mathrm{e}}^3\right)\right]}{90}}\approx \mathrm{1,56}$$

   Arrondi au centième près, le taux de natalité moyen entre 1780 et 1870 est de 1,56 %.

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