sujet : Polynésie deuxième session septembre 2020

corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Au 31 décembre 2017, un magazine possède 450 000 abonnés. On note que chaque année, seuls 80 % des abonnés de l'année précédente renouvellent leur abonnement auxquels viennent s'ajouter 180 000 nouveaux abonnés.
On note $\left(u_n\right)$ une suite modélisant le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au 31 décembre de l'année $\left(2017+n\right)$. On a donc $u_0=450$.

1. Calculer, selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018.

   Le nombre d'abonnés au 31 décembre 2018 est donné par :$$450\times \mathrm{0,8}+180=540$$

   Selon ce modèle, au 31 décembre 2018 il y aura 540 000 abonnés.

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2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+180$.

   Soit $u_n$ le nombre d'abonnés, exprimé en millier, au 31 décembre de l'année $2017+n$. Une estimation du nombre d'abonnés au 31 décembre de l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :

   $$u_n\stackrel{\times \mathrm{0,8}\text{ ( 80 \% renouvellent leur abonnement ) }}{\to }\mathrm{0,8}{u}_n\stackrel{+180\text{ ( nouveaux abonnés ) }}{\to }\underset{u_{n+1}}{\underbrace{\mathrm{0,8}{u}_n+180}}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=\mathrm{0,8}{u}_n+180$.

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3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n, par $v_n=u_n-900$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8. Préciser son premier terme.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-900\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{u}_n+180-900\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{u}_n-720\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}\times \left(u_n-900\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,8}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,8}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et dont le premier terme $v_0=450-900=-450$.

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   2. Soit n un entier naturel. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme $v_0=-450$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_n=-450\times {\mathrm{0,8}}^n$.

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   3. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_n=450\times {\mathrm{0,8}}^n+900$.

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-900\iff u_n=v_n+900$ on en déduit que :

      Pour tout entier naturel n, $u_n=900-450\times {\mathrm{0,8}}^n$.

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4. La direction du magazine affirme qu'à long terme, le nombre d'abonnés dépassera 900 000. Que penser de cette affirmation ? Justifier la réponse.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{ccc}-450\times {\mathrm{0,8}}^n<0& \iff & 900-450\times {\mathrm{0,8}}^n<900\end{array}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_n<900$. Le nombre d'abonnés sera toujours inférieur à 900 000.

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5. En s'appuyant sur ce modèle, au 31 décembre de quelle année le nombre d'abonnés dépassera-t-il 800 000 pour la première fois ?

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}900-450\times {\mathrm{0,8}}^n⩾800& \iff & -450\times {\mathrm{0,8}}^n⩾-100& \\ & \iff & {\mathrm{0,8}}^n⩽{\displaystyle \frac{2}{9}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,8}}^n\right)⩽\ln \left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,8}⩽\ln \left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}{\ln \mathrm{0,8}}}& \ln \mathrm{0,8}<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{2}{9}}\right)}{\ln \mathrm{0,8}}}\approx \mathrm{6,7}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n⩾800$ est égal à 7.

   C'est au 31 décembre 2024 que le nombre d'abonnés dépassera 800 000.

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6. La direction du magazine s'engage à verser chaque année 1 euro par abonnement à une association caritative.
   On dispose de l'algorithme ci-dessous :

   $U\leftarrow 450$
   $S\leftarrow 450$
   Pour I allant de 1 à N
   $U\leftarrow \mathrm{0,8}U+180$
   $S\leftarrow S+U$
   Fin Pour

   On affecte 3 à la variable N et on exécute l'algorithme.

   1. Après l'exécution, quelle valeur numérique contient la variable S ?

      Tableau des valeurs prisent par les variables U et S lors de l'éxecution de l'algorithme :

      Valeur de I		1	2	3
      Valeur de U	450	540	612	669,6
      Valeur de S	450	990	1602	2271,6

      Après l'exécution, $S=\mathrm{2271,6}$

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   2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

      La somme cumulée, sur les quatre premières années, qui a été versée à une association caritative est de 2 271 600 euros.

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