contrôle du 16 février 2008

Corrigé de l'exercice 1

1. 1. Calculer l'arrondi à 10⁻¹ près du salaire moyen brut $\overline{x}$. Donner l'écart type s, arrondi à 10⁻² près.

      Le nombre total de milliers d'heures salariées est : $$\mathrm{33\; 832}+\mathrm{55\; 920}+\mathrm{16\; 872}+\mathrm{11\; 759}=\mathrm{141\; 739}$$

      Le salaire horaire moyen brut est :$$\overline{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,4}\times \mathrm{33\; 832}+\mathrm{10,6}\times \mathrm{55\; 920}+\mathrm{11,8}\times \mathrm{16\; 872}+\mathrm{16,2}\times \mathrm{23\; 356}+\mathrm{32,0}\times \mathrm{11\; 759}}{\mathrm{141\; 739}}}\approx \mathrm{13,15}$$

      La variance de la série statistique est :$$V={\displaystyle \frac{{\mathrm{9,4}}^2\times \mathrm{33\; 832}+{\mathrm{10,6}}^2\times \mathrm{55\; 920}+{\mathrm{11,8}}^2\times \mathrm{16\; 872}+{\mathrm{16,2}}^2\times \mathrm{23\; 356}+{\mathrm{32,0}}^2\times \mathrm{11\; 759}}{\mathrm{141\; 739}}}-{\mathrm{13,5}}^2\approx \mathrm{37,2708}$$

      D'où un écart type $s=\sqrt{\mathrm{37,2708}}\approx \mathrm{6,104}$

      Sans tenir compte des erreurs d'arrondi sur les calculs intermédiaires, l'écart type s obtenu à la calculatrice est $s\approx \mathrm{6,095}$

      Salaire brut horaire moyen est de 13,2 €. L'écart type est 6,1.

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   2. Calculer à 1% près, le pourcentage du nombre de milliers d'heures travaillées pour un salaire brut compris dans l'intervalle $\left[\overline{x}-{\displaystyle \frac{2s}{3}};\overline{x}+{\displaystyle \frac{2s}{3}}\right]$.

      Nous avons $\overline{x}-{\displaystyle \frac{2s}{3}}\approx \mathrm{9,14}$ et $\overline{x}+{\displaystyle \frac{2s}{3}}\approx \mathrm{17,26}$

      Pour un salaire horaire brut compris entre 9,14 € et 17,26 €, le nombre de milliers d'heures salariées est : $$\mathrm{33\; 832}+\mathrm{55\; 920}+\mathrm{16\; 872}=\mathrm{129\; 980}$$

      D'où en pourcentage :$${\displaystyle \frac{\mathrm{129\; 980}}{\mathrm{141\; 739}}}\times 100\approx \mathrm{91,7}$$

      Le salaire horaire brut de 92% des heures salariées dans le secteur de «l'habillement, cuir» est compris entre 9,1 € et 17,2 €.

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2. 1. Quel est le montant du salaire médian ? Déterminer les montants du premier et du troisième quartile.

      Calculons les effectifs cumulés de la série statistique :

      	Ouvriers non qualifiés	Ouvriers qualifiés	Employés	Professions intermédiaires	Cadres
      Salaire brut en €	9,4	10,6	11,8	16,2	32,0
      Nombre de milliers d'heures	33 832	55 920	16 872	23 356	11 759
      Effectif cumulé	33 832	89 752	106 624	129 980	141 739

      Le nombre total de milliers d'heures salariées est 141 739

      • ${\displaystyle \frac{\mathrm{141\; 739}}{2}}=\mathrm{70\; 869,5}$ . La médiane est le salaire horaire brut correspondant à un effectif cumulé de 70 870 milliers d'heures salariées. Soit 10,6.

      • ${\displaystyle \frac{\mathrm{141\; 739}}{4}}=\mathrm{35\; 434,75}$ . Le premier quartile est le salaire horaire brut correspondant à un effectif cumulé de 35 435 milliers d'heures salariées. Soit 10,6.

      • ${\displaystyle \frac{3\times \mathrm{141\; 739}}{4}}=\mathrm{106\; 304,25}$ . Le troisième quartile est le salaire horaire brut correspondant à un effectif cumulé de 106 305 milliers d'heures salariées. Soit 11,8.

      Le salaire horaire brut médian est de 10,6 €, le premier quartile est égal à 10,6 € et le troisième quartile est égal à 11,8 €

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   2. Calculer à 1% près, le pourcentage du nombre de milliers d'heures travaillées pour un salaire brut compris dans l'intervalle interquartile.

      L'intervalle interquartile est $\left[\mathrm{10,6};\mathrm{11,8}\right]$ . D'où un pourcentage d'heures salariées de : $${\displaystyle \frac{\mathrm{55\; 920}+\mathrm{16\; 872}}{\mathrm{141\; 739}}}\times 100\approx \mathrm{51,4}$$

      51% des heures salariées dans le secteur de «l'habillement, cuir» sont rémunérées entre 10,6 € et 11,2 € de l'heure.

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3. Dans ce cas, quel est le critère le plus pertinent pour le salaire brut, la moyenne ou la médiane ?

   Le troisième quartile est égal à 11,8. C'est à dire qu'au moins 75% des heures salariées sont rémunérées avec un salaire horaire inférieur ou égal à 11,8 €. Salaire inférieur au salaire horaire moyen.

   Le salaire médian est plus pertinent comme valeur centrale.

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