1. $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{3x+6}{x+2}}$.

Pour tout réel $x>-2$ : $$3+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}={\displaystyle \frac{3\left(x+2\right)+1}{x+2}}={\displaystyle \frac{3x+7}{x+2}}$$

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2. La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 3,5.

La courbe $C_f$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $$f\left(0\right)=3+{\displaystyle \frac{1}{0+2}}=\mathrm{3,5}$$

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F

3. $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=3$.

$\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }x+2=0^{+}$ donc $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+2}}=+\infty$ d'où $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }3+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}=+\infty$ soit $\underset{\begin{array}{c}x\to -2\\ x>-2\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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F

4. La droite d'équation $y=3$ est asymptote à $C_f$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x+2}}=0$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }3+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}=3$.

Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$ donc la droite d'équation $y=3$ est asymptote à $C_f$ en $+\infty$.

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F

5. $f\left(x\right)>3$ pour tout x de $\left]-2;+\infty \right[$.

Pour tout x de $\left]-2;+\infty \right[$,$$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-3& =& {\displaystyle \frac{1}{x+2}}\end{array}$$

Or $x>-2\iff x+2>0$. Donc ${\displaystyle \frac{1}{x+2}}>0$ . D'où $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-3>0& \iff & f\left(x\right)>3\end{array}$$

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6. $f\prime \left(-1\right)=-1$.

f est une fonction définie sur $\left]-2;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3+{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$ . f est dérivable sur $\left]-2;+\infty \right[$ et $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}}$. D'où $$\begin{array}{ccccc}f\prime \left(-1\right)& =& -{\displaystyle \frac{1}{{\left(-1+2\right)}^2}}& =& -1\end{array}$$

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7. La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-1$ coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnée 4.

Une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse $-1$ est $$y=f\prime \left(-1\right)\left(x+1\right)+f\left(-1\right)$$

Or $$\begin{array}{ccc}f\left(-1\right)=3+{\displaystyle \frac{1}{-1+2}}=4& \text{et}& f\prime \left(-1\right)=-1\end{array}$$

D'où $$\begin{array}{ccc}y=-1\times \left(x+1\right)+4& \iff & y=-x+3\end{array}$$

La tangente T à la courbe au point d'abscisse $-1$ a pour équation $y=-x+3$. Cette droite passe par le point de coordonnées $\left(0;3\right)$

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8. La fonction g définie sur $\left]-2;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ est croissante.

Les fonctions f et $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$ ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction f ne s'annule pas.

Pour tout réel x de $\left]-2;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}}$. Donc $f\prime \left(x\right)<0$ . Par conséquent, la fonction f est décroissante. D'autre part, $f\left(x\right)>3$ pour tout x de $\left]-2;+\infty \right[$.

La fonction g définie sur $\left]-2;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ est croissante.

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