contrôle du 31 mai 2008

Corrigé de l'exercice 3

1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   L'axe des abscisses est asymptote à la courbe $C_f$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

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2. La droite d'équation $x=0$ est-elle asymptote à la courbe $C_f$ ?

   $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ donc la courbe $C_f$ n'a pas pour asymptote l'axe des ordonnées.

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3. Donner les valeurs de $f\left(2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

   • Par lecture graphique, la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(0;2\right)$ d'où $f\left(2\right)=0$.
   • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2. Or cette tangente passe par le point de coordonnées $\left(1;2\right)$ d'où : $$f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{2-0}{1-2}}=-2$$

   Ainsi, $f\left(2\right)=0$ et $f\prime \left(2\right)=-2$.

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4. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une seule représente la fonction dérivée $f\prime$ de f.
   Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

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   • $C_1$ est la courbe représentative d'une fonction négative d'où $C_1$ est la courbe représentative de la dérivée d'une fonction décroissante. Donc la courbe $C_1$ ne convient pas.
   • La courbe $C_3$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 4. Or la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 4 n'est pas parallèle à l'axe des abscisses. Donc la courbe $C_3$ ne convient pas.

   La courbe $C_2$ est la seule des trois courbes susceptible d'être la représentation graphique de la fonction $f\prime$.

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