contrôle du 12 février 2009

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^2-6x+1$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal. La parabole $C_f$ est tracée en annexe ci-dessous.

1. Étudier le sens de variation de la fonction f.

   f est une fonction polynôme du second degré avec $a=1$, $b=-6$ et $c=1$.
   Le minimum de la fonction f est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$, soit $x={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$ et $f\left(3\right)=3^2-6\times 3+1=-8$.
   Le tableau des variations de la fonction f est donc :

   x	$-\infty$		3		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$-8$

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2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la parabole $C_f$ avec l'axe des abscisses.

   Les abscisses des points d'intersection de la parabole $C_f$ avec l'axe des abscisses sont les réels x solutions de l'équation : $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=0& \iff & x^2-6x+1=0\end{array}$$

   Le discriminant du trinôme $x^2-6x+1$ est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Delta }={\left(-6\right)}^2-4\times 1\times 1=32& \text{donc}& \sqrt{\mathrm{\Delta }}=4\sqrt{2}\end{array}$$

   Donc l'équation $x^2-6x+1=0$ a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{6-4\sqrt{2}}{2}}=3-2\sqrt{2}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{6+4\sqrt{2}}{2}}=3+2\sqrt{2}\end{array}$$

   La parabole $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées $\left(3-2\sqrt{2};0\right)$ et $\left(3+2\sqrt{2};0\right)$

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3. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-2\right)=10$ et $g\left(6\right)=-6$

   1. Déterminer l'expression de f en fonction de x.

      g est une fonction affine alors pour tout réel x, $g\left(x\right)=ax+b$ avec : $$\begin{array}{lll}a& =& {\displaystyle \frac{g\left(6\right)-g\left(-2\right)}{6-\left(-2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-6-10}{6+2}}\\ & =& -2\end{array}$$

      D'où $g\left(x\right)=-2\left(x-6\right)+g\left(6\right)$. Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}g\left(x\right)=-2\left(x-6\right)-6& \iff & g\left(x\right)=-2x+12-6\\ & \iff & g\left(x\right)=-2x+6\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=-2x+6$

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère othogonal donné en annexe.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D d'équation $y=-2x+6$. Cette droite passe par les points de coordonnées $\left(-2;10\right)$ et $\left(6;-6\right)$.

4. Étudier le signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ . En déduire les positions relatives des courbes $C_f$ et D.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x^2-6x+1\right)-\left(-2x+6\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-4x-5\end{array}$$

   Étudions le signe du polynôme du second degré $x^2-4x-5$ avec $a=1$, $b=-4$ et $c=-5$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=16+20=36\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{4-6}{2}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{4+6}{2}}=5\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)=x^2-4x-5$ suivant les valeurs du réel x :

   x	$-\infty$		$-1$		5		$+\infty$
   Signe de $f\left(x\right)-g\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   • Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-1\right]$ ou $\left[5;+\infty \right[$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩾0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessus de la droite D pour tous les points dont l'abscisse x appartient à $\left]-\infty ;-1\right]\cup \left[5;+\infty \right[$.
   • Sur l'intervalle $\left[-1;5\right]$, $f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0$. Donc la courbe $C_f$ est au dessous de la droite D pour tous les points dont l'abscisse x appartient à l'intervalle $\left[-1;5\right]$.
   • La courbe $C_f$ coupe la droite D en deux points d'abscisses respectives $-1$ et 5.

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