contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 1

Au 1^er janvier 2005, une petite ville avait une population de 15 000 habitants. Une étude a permis de constater qu'à partir du 1^er janvier 2005, du fait des flux migratoires :
8% des habitants quittent la ville chaque année et 1 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.
Pour tout entier naturel n, on appelle $u_n$ le nombre d'habitants de cette ville le 1^er janvier de l'année (2005 + n). Ainsi, $u_0=15000$.

1. 1. Calculer $u_1$, et $u_2$. La suite $\left(u_n\right)$ de terme général $u_n$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.

      • Le 1^er janvier 2006, 8% des habitants ont quitté la ville et 1 000 personnes sont venus s'installer alors :

        $$\begin{array}{ccc}{u}_1=\mathrm{0,92}\times u_0+1000& \text{d'où}& u_1=\mathrm{0,92}\times 15000+1000\end{array}$$

        Soit $u_1=14800$

        ---

        Le 1^er janvier 2007, 8% des habitants ont quitté la ville et 1 000 personnes sont venus s'installer alors :

        $$\begin{array}{ccc}{u}_2=\mathrm{0,92}\times u_1+1000& \text{d'où}& u_2=\mathrm{0,92}\times 14800+1000\end{array}$$

        Soit $u_1=14616$

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      • Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est arithmétique signifie qu'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=u_n+r$.

        Or $$\begin{array}{ccc}{u}_1-u_0=200& \text{et}& u_2-u_1=184\end{array}$$

        Donc La suite $\left(u_n\right)$ n'est pas une suite arithmétique.

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        Dire qu'une suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=q\times u_n$.

        Or $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}={\displaystyle \frac{14800}{15000}}\approx \mathrm{0,9867}& \text{et}& {\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}={\displaystyle \frac{14616}{14800}}\approx \mathrm{0,9876}\end{array}$$

        Donc La suite $\left(u_n\right)$ n'est pas une suite géométrique.

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   2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+1000$.

      Pour tout entier naturel n, $u_n$ est le nombre d'habitants de cette ville le 1^er janvier de l'année (2005 + n).

      Le 1^er janvier de l'année suivante, 8% des habitants auront quitté la ville et 1 000 personnes seront venus s'installer alors :

      $u_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+1000$

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2. Pour tout entier naturel n, on pose : $v_n=u_n-12500$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ de terme général $v_n$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.

      Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}=u_{n+1}-12500& \iff & v_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n+1000-12500\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{0,92}{u}_n-11500\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{0,92}\left(u_n-12500\right)\\ & \iff & v_{n+1}=\mathrm{0,92}\times v_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,92}\times v_n$ donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme $v_0=u_0-12500$.

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   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=2500\times {\mathrm{0,92}}^n+12500$.

      La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme 2500 alors, pour tout entier naturel n, $v_n=2500\times {\mathrm{0,92}}^n$.

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      Or pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{lll}{v}_n=u_n-12500& \iff & u_n=v_n+12500\\ & \iff & u_n=2500\times {\mathrm{0,92}}^n+12500\end{array}$$

      Ainsi pour tout entier naturel n, $u_n=2500\times {\mathrm{0,92}}^n+12500$.

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3. En se basant sur ce modèle théorique, quel serait le pourcentage d'évolution du nombre d'habitants de la ville entre le 1^er janvier 2005 et le 1^er janvier 2015 ? (Arrondir le résultat à 0,1 % près)

   Arrondi à l'entier le plus proche, le 1^er janvier 2015 le nombre d'habitants de cette ville devrait être de : $$2500\times {\mathrm{0,92}}^{10}+12500\approx 13586$$

   Ce qui représente une baisse en pourcentage par rapport à la population au 1^er janvier 2005 de $${\displaystyle \frac{15000-13586}{15000}}\times 100\approx \mathrm{9,43}$$

   Entre le 1^er janvier 2005 et le 1^er janvier 2015, le nombre d'habitants baissera de 9,4%.

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