contrôles en première ES

contrôle du 19 mars 2009

Corrigé de l'exercice 1

Au 1er janvier 2005, une petite ville avait une population de 15 000 habitants. Une étude a permis de constater qu'à partir du 1er janvier 2005, du fait des flux migratoires :
8% des habitants quittent la ville chaque année et 1 000 personnes supplémentaires viennent s'installer chaque année dans cette ville.
Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre d'habitants de cette ville le 1er janvier de l'année (2005 + n). Ainsi, u0=15000.

    1. Calculer u1, et u2. La suite un de terme général un est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier les réponses.

      • Le 1er janvier 2006, 8% des habitants ont quitté la ville et 1 000 personnes sont venus s'installer alors :

        u1=0,92×u0+1000d'oùu1=0,92×15000+1000

        Soit u1=14800


        Le 1er janvier 2007, 8% des habitants ont quitté la ville et 1 000 personnes sont venus s'installer alors :

        u2=0,92×u1+1000d'oùu2=0,92×14800+1000

        Soit u1=14616


      • Dire qu'une suite (un)n est arithmétique signifie qu'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=un+r.

        Or u1-u0=200etu2-u1=184

        Donc La suite un n'est pas une suite arithmétique.


        Dire qu'une suite (un)n est géométrique signifie qu'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

        Or u1u0=14800150000,9867etu2u1=14616148000,9876

        Donc La suite un n'est pas une suite géométrique.


    2. Expliquer ensuite pourquoi on a, pour tout entier naturel n, un+1=0,92un+1000.

      Pour tout entier naturel n, un est le nombre d'habitants de cette ville le 1er janvier de l'année (2005 + n).

      Le 1er janvier de l'année suivante, 8% des habitants auront quitté la ville et 1 000 personnes seront venus s'installer alors :

      un+1=0,92un+1000


  1. Pour tout entier naturel n, on pose : vn=un-12500.

    1. Démontrer que la suite vn de terme général vn est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme v0.

      Pour tout entier naturel n, vn+1=un+1-12500vn+1=0,92un+1000-12500vn+1=0,92un-11500vn+1=0,92un-12500vn+1=0,92×vn

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,92×vn donc la suite vn est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme v0=u0-12500=2500.


    2. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, un=2500×0,92n+12500.

      La suite vn est une suite géométrique de raison 0,92 et de premier terme 2500 alors, pour tout entier naturel n, vn=2500×0,92n.


      Or pour tout entier naturel n, vn=un-12500un=vn+12500un=2500×0,92n+12500

      Ainsi pour tout entier naturel n, un=2500×0,92n+12500.


  2. En se basant sur ce modèle théorique, quel serait le pourcentage d'évolution du nombre d'habitants de la ville entre le 1er janvier 2005 et le 1er janvier 2015 ? (Arrondir le résultat à 0,1 % près)

    Arrondi à l'entier le plus proche, le 1er janvier 2015 le nombre d'habitants de cette ville devrait être de : 2500×0,9210+1250013586

    Ce qui représente une baisse en pourcentage par rapport à la population au 1er janvier 2005 de 15000-1358615000×1009,43

    Entre le 1er janvier 2005 et le 1er janvier 2015, le nombre d'habitants baissera de 9,4%.



Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.